La modélisation des épidémies à l’épreuve de la Covid-19

« Complexifier pour affiner » (Cédric Villani) ou « Complexifier pour corriger discrètement des équations inexactes » ?

Conférence à distance donnée le 22 avril 2021 aux membres de Géostratégies 2000 et du Groupe « Défense et Géostratégie » de Sciences Po Alumni

Con­sulté il y a plus d’un an, Cédric Vil­lani, tout à la fois député et Médaille Fields, a remis le 30 avril 2020 à l’Office par­lemen­taire d’évaluation des choix sci­en­tifiques et tech­nologiques une note inti­t­ulée « Covid-19 – Point sur la mod­éli­sa­tion épidémi­ologique pour estimer l’ampleur et le devenir de l’épidémie de Covid-19 ».

La pre­mière par­tie de cette note reprend les grandes lignes de la com­mu­ni­ca­tion fon­da­trice des mod­èles dits « com­par­ti­men­taux » trans­mise en 1927 par les Ecos­sais Ker­ma­ck et McK­endrick à la Roy­al Soci­ety de Lon­dres ; dans ses dernières pages fig­ure un sys­tème d’équations dif­féren­tielles très sim­ples cen­sé mod­élis­er le développe­ment d’une épidémie. Après avoir rap­pelé ces équa­tions, Cédric Vil­lani explique dans un chapitre de sa note inti­t­ulé inti­t­ulé : « Com­plex­i­fi­er pour affin­er » com­ment il est pos­si­ble d’améliorer par divers procédés la pré­ci­sion de ce mod­èle datant de 1927.

Dans les uni­ver­sités et les écoles de médecine du monde entier, la qua­si-total­ité des cours de mod­éli­sa­tion épidémi­ologique reposent sur les mêmes bases et repren­nent les « équa­tions de Ker­ma­ck et McK­endrick ». Or si on exam­ine de près leur com­mu­ni­ca­tion de 1927, on s’aperçoit qu’existe une diver­gence entre ce sys­tème d’équations dif­féren­tielles et le sché­ma de mod­éli­sa­tion défi­ni dans les pre­mières pages de leur document.

Vraisem­blable­ment dans l’espoir (qui s’est révélé vain !) de pou­voir trou­ver sans l’aide d’ordinateurs, inex­is­tants en 1927, une solu­tion per­me­t­tant de ren­dre compte du développe­ment d’une épidémie sous forme de fonc­tions ana­ly­tiques du temps, Ker­ma­ck et McK­endrick ont défi­ni à la fin de leur com­mu­ni­ca­tion ce qu’ils appel­lent un « spe­cial case » sim­pli­fié (dit à « con­stant rates ») qui leur per­met de pro­pos­er le sys­tème d’équations dif­féren­tielles très sim­ples passé à la postérité.

Or l’option de sim­pli­fi­ca­tion choisie pour ce « spe­cial case » (prob­a­bil­ité de guéri­son uni­forme, ne dépen­dant pas du temps depuis lequel un indi­vidu est con­t­a­m­iné, alors que c’est la durée de la mal­adie qui est assez uni­forme) con­duit à des résul­tats qui peu­vent être très inex­acts à des moments de l’épidémie où le nom­bre de per­son­nes infec­tées varie forte­ment (début d’épidémie, con­fine­ment, décon­fine­ment, muta­tions entraî­nant une vari­a­tion impor­tante de con­ta­giosité d’une bac­térie ou d’un virus …).

Par la suite, beau­coup de math­é­mati­ciens tra­vail­lant sur la mod­éli­sa­tion épidémi­ologique se sont mis à utilis­er comme point de départ le sys­tème d’équations fig­u­rant dans les cours de mod­éli­sa­tion, sans réalis­er que ce sys­tème pré­tendait unique­ment simuler un « spe­cial case », et que de plus il le fai­sait de façon erronée et ne pou­vait pas ren­dre compte cor­recte­ment du développe­ment d’une épidémie réelle à évo­lu­tion rapide.

Pour une rai­son inex­plic­a­ble, les mod­élisa­teurs sérieux qui ont con­staté les erreurs résul­tant de cette sit­u­a­tion ne veu­lent pas don­ner l’im­pres­sion qu’ils remet­tent en cause ce sys­tème tra­di­tion­nel erroné d’équations dif­féren­tielles. Ils préfèrent en com­penser dis­crète­ment les défauts par des procédés de cal­cul pas tou­jours bien doc­u­men­tés, et refusent toute remise en cause offi­cielle des équa­tions de 1927, au pré­texte qu’il y a dans un sujet aus­si com­plexe telle­ment de raisons poten­tielles d’er­reurs qu’il ne serait pas très utile de com­mencer par rec­ti­fi­er ouverte­ment celle de 1927. Ils se sont lancés dans l’élaboration de mod­èles d’une grande com­plex­ité dont une par­tie ne sert qu’à cor­riger le car­ac­tère erroné de ces équa­tions, action cam­ou­flée car noyée dans d’autres développe­ments (ceux-là légitimes, car des­tinés à réelle­ment affin­er le modèle).

Le résul­tat est une flo­rai­son de mod­èles, cha­cun établi avec des recettes math­é­ma­tiques « mai­son », générale­ment invéri­fi­ables car peu doc­u­men­tés, leurs codes infor­ma­tiques n’étant pas ren­dus publics.

C’est la rai­son pour laque­lle, par­al­lèle­ment à la con­sul­ta­tion de grands organ­ismes ayant dévelop­pé des mod­èles com­plex­es au fonc­tion­nement interne réelle­ment con­nu de leurs seuls développeurs, paraî­trait intéres­sante l’utilisation com­plé­men­taire de mod­èles sim­pli­fiés cor­rigeant le « spe­cial case » de 1927 (ce qui est très facile en util­isant un tableur). Les non‑mathématiciens pro­fes­sion­nels, en par­ti­c­uli­er les énar­ques et les médecins qui co‑gèrent actuelle­ment les actions des pou­voirs publics, pour­raient ain­si explor­er par eux‑mêmes dif­férentes options de poli­tique san­i­taire, ce qui leur per­me­t­trait de mieux définir leurs deman­des de véri­fi­ca­tions et de tests de nou­velles hypothès­es auprès des respon­s­ables des mod­èles insti­tu­tion­nels. Cette pos­si­bil­ité serait par­ti­c­ulière­ment intéres­sante pen­dant les prochaines semaines où doit en principe être mise en œuvre de façon pro­gres­sive la lev­ée des mesures de freinage actuelles de l’épidémie.

Pour voir la con­férence entière : https://www.youtube.com/watch?v=gOd-MeUpK30

Liste d’articles publiés dans la version en ligne de La Jaune et la Rouge :

https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-enseignements-et-credibilite-des-modeles-epidemiologiques/ (avril 2021)

https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-en-2021quelles-mesures-privilegier-pour-eviter-detre-submerges-en-mars-avril-par-larrivee-dune-3eme-vague-due-au-variant-anglais/ (mars 2021)

https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-interrogations-sur-le-modele-epidemiologique-prise-en-compte-de-la-vaccination-et-du-variant-anglais/ (févri­er 2021)

https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-allons-nous-vers-une-troisieme-vague/ (décem­bre 2020)

https://www.lajauneetlarouge.com/deuxieme-vague-covid-19-perspectives-2020–2021_modele_sir/ (novem­bre 2020)

https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-une-modelisation-simple-utilisant-excel-accessible-aux-non-mathematiciens-et-pleine-denseignements/ (octo­bre 2020)

https://www.lajauneetlarouge.com/modeles-mathematiques-depidemies-les-plus-elabores-pourquoi-leurs-previsions-initiales-sont-elles-souvent-excessivement-pessimistes/ (octo­bre 2020)

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