Covid-19 en 2021
Quelles mesures privilégier pour éviter d’être submergés en mars avril par l’arrivée d’une 3e vague due au variant « anglais » ?

Dossier : ExpressionsMagazine N°763 Mars 2021
Par François Xavier MARTIN (63)

Comparaison entre l’efficacité de différentes options

Théorique­ment, le rem­place­ment pro­gres­sif du virus « 2020 » par un vari­ant « anglais » net­te­ment plus con­tagieux risque de provo­quer l’arrivée d’une 3e vague capa­ble de sub­merg­er le sys­tème hos­pi­tal­ier. L’expérience de 2020 prou­ve qu’il est pos­si­ble de con­tre­car­rer une telle évo­lu­tion, mais quelles sont les mesures les plus effi­caces pour y arriv­er ? Accéléra­tion des vac­ci­na­tions ? Quar­an­taines ? Cou­vre-feux ou con­fine­ments, généraux ou localisés ?

À par­tir du mod­èle épidémi­ologique le plus sim­ple, le SIR de Ker­ma­ck et McK­endrick (1927) où une équa­tion inadap­tée aux évo­lu­tions forte­ment dynamiques a été cor­rigée (voir notre arti­cle de la J&R en ligne de févri­er) il est pos­si­ble de recon­stituer l’évolution de la Covid-19 depuis son arrivée en France début 2020 et de répon­dre à cette ques­tion sans avoir de con­nais­sances par­ti­c­ulières en mathématiques.

Savoir utilis­er un tableur de type Excel suffit

Remarques importantes

L’article étudie les effets opposés de la vac­ci­na­tion et de l’apparition d’un vari­ant « anglais » net­te­ment plus con­tagieux que le Covid-19 de 2020. Il com­pare l’efficacité d’actions per­me­t­tant de lim­iter le nom­bre max­i­mal d’infections (atten­du pour avril 2021) à un niveau com­pat­i­ble avec les capac­ités du sys­tème hos­pi­tal­ier national.

Il ne prévoit pas la sor­tie finale de crise, celle qui (espérons-le !) per­me­t­tra le retour à un mode de vie com­pa­ra­ble à celui que nous avons con­nu jusqu’en févri­er 2020. Mais atten­tion ! Actuelle­ment un virus de coef­fi­cient R0 égal à 3 dans les con­di­tions que nous con­nais­sions avant le début de l’épidémie est en train d’être rem­placé par un vari­ant pour lequel, dans les mêmes con­di­tions, R= 4,5. Ceci fait pass­er la pop­u­la­tion min­i­male devant théorique­ment être immu­nisée (par vac­ci­na­tion, immu­nité acquise suite à une guéri­son ou éventuelle immu­nité innée) de 67% à 78% de la pop­u­la­tion totale pour voir com­mencer le reflux spon­tané de l’épidémie (cal­cul approx­i­matif basé sur l’équation du SIR de 1927 non cor­rigée et ne ten­ant pas compte de l’hétérogénéité entre contaminateurs).

Les nom­bres de nou­velles infec­tions annon­cés quo­ti­di­en­nement par les pou­voirs publics cor­re­spon­dent aux seules infec­tions con­statées par des tests. En 2021, le nom­bre réel d’infections (détec­tées ou non détec­tées, symp­to­ma­tiques ou asymp­to­ma­tiques) est vraisem­blable­ment env­i­ron deux fois plus impor­tant (au print­emps 2020, ce rap­port était beau­coup plus élevé, compte tenu de la pénurie de tests).


Chiffres quotidiens début mars 2021

Nou­velles infec­tions : env­i­ron 50 000 par jour dont 50 % con­statées par des tests

Par rap­port au nom­bre total d’infections :

  • Admis­sions à l’hôpital : 2,5 % du nom­bre total d’infections
  • Admis­sions en réan­i­ma­tion, en moyenne 1 semaine après infec­tion : 0,4 %
  • Décès, en moyenne 2 semaines après infec­tion : 0,5 %

Doc­u­ment du 23 févri­er trai­tant du même sujet : « A race between SARS-CoV­‑2 vari­ants and vac­ci­na­tion : the case of the B.1.1.7 vari­ant in France » par Pao­lo Boset­ti, Cécile Tran Kiem, Alessio Andron­i­co, Juli­ette Paireau, Daniel Levy Bruhl, et al.

https://hal.archives-ouvertes.fr/pasteur-03149525

A not­er qu’à la dif­férence de ce doc­u­ment, notre arti­cle n’inclut pas l’effet d’éventuelles mesure de relâche­ment de la dis­tan­ci­a­tion physique de la pop­u­la­tion après le pic d’avril.

Covid-19 en 2021
Influences contraires de la vaccination et du variant « anglais »

Une cam­pagne de vac­ci­na­tion a com­mencé début 2021, et un cou­vre-feu à par­tir de 18 heures est entré en vigueur à la mi-jan­vi­er. Ces mesures seront-elles suff­isantes pour éviter une 3ème vague due au rem­place­ment pro­gres­sif du virus « 2020 » par un vari­ant « anglais » plus con­tagieux ? Que dis­ent les courbes générées par un tableur de type Excel appliqué à un mod­èle SIR dont une des équa­tions a été rec­ti­fiée ? (voir https://www.lajauneetlarouge.com/covid-19-interrogations-sur-le-modele-epidemiologique-prise-en-compte-de-la-vaccination-et-du-variant-anglais/ )

Nouvelles infections quotidiennes incluant non détectées, asymptomatiques : virus "2020"

A com­par­er avec la courbe des décès con­statés à l’hôpital qui est décalée d’une quin­zaine de jours par rap­port à la courbe des infec­tions (courbe bleue en 2020, puis courbe rouge en 2021 à par­tir de la mon­tée des infec­tions dues au vari­ant « anglais »).

Décès Covid-19 à l'hôpital constatés par jour (moyenne mobile sur 7 jours)

Si aucune nou­velle mesure n’est prise, le main­tien des R0 des virus « 2020 » et « anglais » à leurs niveaux actuels (R0 « 2020 » = 1,05 et R0 « anglais » = 1,57) va con­duire en mars-avril à une 3ème vague présen­tant un nom­bre max­i­mum quo­ti­di­en d’infections sen­si­ble­ment égal à celui des 2 vagues précé­dentes, mais pen­dant une durée plus longue (car l’ascension de cha­cune des vagues précé­dentes a été arrêtée par un confinement).

Pour ten­ter de réduire l’impact de cette 3e vague, deux pos­si­bil­ités théoriques dont nous allons com­par­er l’efficacité :

- aug­men­ta­tion très sig­ni­fica­tive du rythme des vac­ci­na­tions (pas­sant de 75 000 immunisations/jour à 150 000 immunisations/jour à par­tir du 15 mars)

- diminu­tions mod­érées (2 hypothès­es : — 5% et — 10%) des R0 du virus « 2020 » et de son vari­ant « anglais » grâce à des mesures ayant une influ­ence sur le com­porte­ment de la pop­u­la­tion. D’après notre mod­èle la pro­por­tion de la pop­u­la­tion S sus­cep­ti­ble d’être infec­tée (car ni vac­cinée, ni immu­nisée suite à une guéri­son, et ne béné­fi­ciant pas d’une éventuelle immu­nité naturelle) notée habituelle­ment S/N – N étant la pop­u­la­tion totale — est égale en début d’année 2021 à env­i­ron 0,86.

Les Reffec­tif cor­re­spon­dants sont alors 1,05 x 0,86 = 0,9 pour le virus « 2020 » et 1,57 x 0,86 = 1,35 pour le virus anglais. En début d’année 2021, l’infection due au virus « 2020 » est donc en train de régress­er, tan­dis que l’infection due au vari­ant « anglais » va croître jusqu’ à ce que S/N passe en-dessous de 1/1,57 = 0,64.

Bien not­er que pour l’instant la part la plus impor­tante de la dif­férence entre S et N ne provient pas encore des vac­ci­na­tions, dont l’effet n’a com­mencé à se faire sen­tir que fin jan­vi­er 2021, mais de l’immunisation acquise suite à des infec­tions (aux­quelles s’ajoutent d’éventuelles immu­nités naturelles).

Le point impor­tant est de déter­min­er l’évolution cumulée des deux types de virus dans dif­férentes hypothèses.

Effet d’une accélération des vaccinations
Passage à 150 000 immunisations par jour à partir du 15 mars 2021
R0 « 2020 » stable à 1,05 à partir du 15/2/2021

Infections quotidiennes : virus "2020"

De toute évi­dence, une aug­men­ta­tion réal­iste du rythme de vac­ci­na­tion n’est pas en mesure de réduire à elle seule et de façon sat­is­faisante l’ampleur de cette 3e vague.

Néan­moins, la vac­ci­na­tion pri­or­i­taire des plus frag­iles aura un effet béné­fique rapi­de sur les évo­lu­tions de la charge des hôpi­taux et de la létal­ité moyenne.

Effet d’un durcissement des mesures modifiant le comportement de la population
Réduction de 5 % des R0 (« 2020 » et « anglais ») à partir du 1er mars

Infections quotidiennes : virus "2020" variant «anglais»

A court terme, cette diminu­tion de 5% des R0 des deux types de virus a un effet plus impor­tant que le dou­ble­ment des immu­ni­sa­tions de 75 000 à 150 000 par jour au 15 mars.  

Effet d’un durcissement des mesures modifiant le comportement de la population
Réduction de 10 % des R0 (« 2020 » et « anglais ») à partir du 1er mars 

Effet accen­tué lorsqu’on passe à une diminu­tion de 10% des R0 des deux types de virus.

Sensibilité des résultats à la contagiosité exacte du variant « anglais »

En fait, la con­ta­giosité exacte du vari­ant « anglais » est mal con­nue. Si on remonte à la source de l’information don­née par la plu­part des médias, c’est-à-dire la note de Nicholas G. Davies (Cen­tre for Math­e­mat­i­cal Mod­el­ling of Infec­tious Dis­eases, Lon­don School of Hygiene and Trop­i­cal Med­i­cine de Londres)

https://www.medrxiv.org/content/10.1101/2020.12.24.20248822v2

on y lit : « we esti­mate that VOC 202012/01 is 43–82% more trans­mis­si­ble than pre‑existing vari­ants of SARS-CoV­‑2 »

En com­para­nt la courbe des décès à l’hôpital don­née plus haut à celles fournies par notre mod­èle (SIR rec­ti­fié) pour dif­férentes valeurs de con­ta­giosité, la meilleure esti­ma­tion sem­ble être une aug­men­ta­tion de 50% par rap­port à celle du virus « 2020 ».

Les 3 dia­grammes qui suiv­ent mon­trent com­bi­en l’évolution de l’épidémie est sen­si­ble à la valeur exacte de l’augmentation de con­ta­giosité due au rem­place­ment du virus « 2020 » par son vari­ant « anglais ».

Rappel de l’évolution avec un variant de contagiosité de + 50% par rapport au virus « 2020 »

Le pas­sage de 50% à 53% de la con­ta­giosité addi­tion­nelle du vari­ant « anglais » par rap­port au virus « 2020 » fait croître de près de 50% le nom­bre quo­ti­di­en max­i­mum d’infections prévis­i­bles en avril.

Le pas­sage de 50% à 47% de la con­ta­giosité addi­tion­nelle du vari­ant « anglais » par rap­port au virus « 2020 » réduit de près de 40% le nom­bre quo­ti­di­en max­i­mum d’infections prévis­i­bles en avril.

Conclusions
NOMBRE DE NOUVELLES INFECTIONS QUOTIDIENNES : PIC D’AVRIL 2021
(infections non détectées – dont asymptomatiques — comprises)

R0 « 2020 » à par­tir du 15/2/2021 

R0 vari­ant « anglais » à par­tir du 15/2/2021 Vac­ci­na­tions : nom­bre d’immunisations par jour à par­tir du 20/1/2021 Nom­bre quo­ti­di­en max­i­mum d’infections

1,05

1,05 x 1,5 = 1,57

75 000

115 000

1,05

1,05 x 1,5 = 1,57

75 000
Pas­sant à 150 000 au 15/3/21

105 000 

1

1,5 

75 000

81 000

0,95

0,95 x 1,5 = 1,42

75 000

70 000

1,05

1,05 x 1,47 = 1,54

75 000

67 000

1,05  1,05 x 1,53 = 1,61 75 000

170 000

Pour réduire l’amplitude prévis­i­ble de la vague de mars-avril, des mesures mod­i­fi­ant le com­porte­ment de la pop­u­la­tion et des­tinées à faire baiss­er de 5 à 10% les R0 des 2 types de virus seront plus effi­caces qu’une forte aug­men­ta­tion du rythme des vac­ci­na­tions (telles qu’un dou­ble­ment du nom­bre quo­ti­di­en des immu­nisés à par­tir du 15 mars).

A aus­si court terme, la con­tri­bu­tion d’un accroisse­ment du rythme de vac­ci­na­tion à une mod­éra­tion de la vague atten­due en mars avril ne peut être que mod­este. Néan­moins, la vac­ci­na­tion pri­or­i­taire des plus frag­iles aura un effet béné­fique rapi­de sur les évo­lu­tions de la charge des hôpi­taux et de la létal­ité moyenne.

A moyen terme cette vac­ci­na­tion jouera un rôle majeur dans la diminu­tion pro­gres­sive de la pop­u­la­tion sus­cep­ti­ble d’être con­t­a­m­inée, donc de Reffec­tif (courbe violette).

Une extrême atten­tion devra être apportée à la con­nais­sance pré­cise du sup­plé­ment de con­ta­giosité du vari­ant « anglais » (ou d’autres vari­ants !) par rap­port au virus « 2020 » : s’il dépasse 50%, un con­fine­ment « dur » paraît inévitable.

3 Commentaires

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gpougetrépondre
22 mars 2021 à 11 h 44 min

mer­ci de cet arti­cle for­matif quoique un peu tech­nique . Quels sont les logi­ciels util­isé pour prévi­sions / et com­ment dans une inter­view sur you tube le directeur de l’OMS à Gen­eve au début de la pandémie pou­vait il chiffr­er les pertes à 30 mil­lions ? / pensez vous que nous aurons une qua­trieme vague mal­gré un bon taux de vac­ci­na­tion cet Automne ?

GPougetrépondre
22 mars 2021 à 11 h 55 min

suite à com­men­taire cf ’ the con­cept of Ro in epi­demi­ol­o­gy ’ arti­cle dans jour­nal of the Roy­al Soci­ety .CQFD

François Xavier MARTIN (auteur)répondre
22 mars 2021 à 16 h 20 min

Pour une pop­u­la­tion N con­sid­érée comme homogène, il y a vague dès que Ro x S / N est supérieur à 1, S étant la pop­u­la­tion sus­cep­ti­ble d’être infec­tée (donc n’ayant pas été vac­cinée, n’é­tant pas immu­nisée suite à une infec­tion et ne béné­fi­ciant pas d’une éventuelle immu­nité naturelle).
Ro dépend du virus et des vari­ables com­porte­men­tales de la pop­u­la­tion. Avec les virus “2020” Ro = 3 dans les con­di­tions de vie français­es avant févri­er 2020, env­i­ron 1 avec les con­di­tions actuelles (con­fine­ment mod­éré, mesures-bar­rières). Avec le virus “anglais” on passe à Ro = 4,5 dans les con­di­tions de vie français­es avant févri­er 2020 et env­i­ron 1,5 avec les con­di­tions actuelles. Début 2021 (avant début des vac­ci­na­tions), vraisem­blable­ment entre 10% et 15% de la pop­u­la­tion était immu­nisée. Donc, avec le seul virus “2020”, main­tenir Ro un peu au-dessus de 1 devait suf­fire à faire régress­er l’épidémie, la vac­ci­na­tion per­me­t­tant ensuite de laiss­er remon­ter lente­ment ce Ro jusqu’à celui du “monde d’a­vant” (3).
Le vari­ant “anglais” a déjoué ces cal­culs. Il est en train de rem­plac­er totale­ment le virus “2020” et impose donc de faire pass­er rapi­de­ment S/N en dessous de 1/1,5 = 0,67 grâce aux effets com­binés de la vac­ci­na­tion et d’un recon­fine­ment. Une fois passé le risque de 3ème vague en avril, le prob­lème sera de laiss­er remon­ter le So du vari­ant anglais (ou d’un autre vari­ant encore plus con­tagieux !) pour retrou­ver les con­di­tions de vie de 2019 !
Enfin il faut bien voir qu’at­tein­dre l’im­mu­nité col­lec­tive ne sig­ni­fie pas que l’épidémie est ter­minée : elle com­mence sim­ple­ment à régress­er. Je vous donne les ordres de grandeur : avec un Ro de 3 on atteint théorique­ment l’im­mu­nité col­lec­tive quand 67% de la pop­u­la­tion a été con­t­a­m­inée ou vac­cinée, mais pour la fin de l’épidémie il faut attein­dre un taux de 94%, la for­mule per­me­t­tant le cal­cul théorique (facile par itéra­tion avec Excel) étant : Taux = 1 — exp( — Ro x Taux). Pour un Ro de 4,5 la qua­si-total­ité de la pop­u­la­tion aura été ou con­t­a­m­inée ou vaccinée.
Au début de l’épidémie on esti­mait la létal­ité à un peu plus de 0,5%. Sans vac­ci­na­tion ni aucune mod­i­fi­ca­tion du com­porte­ment de la pop­u­la­tion mon­di­ale (donc Ro = 3), on pou­vait estimer que 94% de la pop­u­la­tion mon­di­ale serait infec­tée ce qui cor­re­spond bien à env­i­ron 30 mil­lions de décès. Mais ceci ne tenait pas compte du fait que Ro = 3 cor­re­spond à un mode de vie occi­den­tal (frénésie de con­tacts, de cir­cu­la­tion des indi­vidus …), des divers­es mesures de con­fine­ment, de quar­an­taine, de port de masques, de l’âge moyen dans les dif­férentes par­ties du monde … D’autre part, même en absence de con­signes gou­verne­men­tales, les pop­u­la­tions évi­tent spon­tané­ment les con­tacts avec les malades ! (voir mon arti­cle d’oc­to­bre 2020).
Enfin les mod­èles. Au départ tous sont basés sur celui de 1927 (com­mu­ni­ca­tion de Ker­ma­ck et McK­endrick à la Roy­al Soci­ety de Lon­dres). Au départ ceux-ci ont écrit des équa­tions per­me­t­tant de tout ren­dre vari­able en fonc­tion du temps. En l’ab­sence d’or­di­na­teurs, ces équa­tions étaient inex­ploita­bles. Ils ont donc défi­ni un “spe­cial case” util­is­able qui con­te­nait une option de sim­pli­fi­ca­tion mal­heureuse (prob­a­bil­ité de guéri­son uni­forme, ne dépen­dant pas du temps depuis lequel un indi­vidu était con­t­a­m­iné, alors que c’est la durée de la mal­adie qui est assez uni­forme). Leurs suc­cesseurs ont “oublié” la par­tie com­plexe de la com­mu­ni­ca­tion de 1927 et pris pour argent comp­tant (et présen­té comme tel aux étu­di­ants en épidémi­olo­gie) le “spe­cial case” erroné. Comme celui-ci don­nait des résul­tats incom­pat­i­bles avec la réal­ité (il est insuff­isam­ment réac­t­if aux vari­a­tions dans le temps du nom­bre d’in­fec­tés, à la hausse comme à la baisse) les math­é­mati­ciens ne voulant pas don­ner l’im­pres­sion qu’ils touchaient aux sacro-saintes équa­tions de 1927 se sont lancés dans l’élab­o­ra­tion de mod­èles d’une grande com­plex­ité dont une par­tie ne ser­vait qu’à cor­riger le car­ac­tère erroné de ces équa­tions, action cam­ou­flée car noyée dans d’autres développe­ments des­tinés à affin­er le mod­èle. Le résul­tats est une flo­rai­son de mod­èles, cha­cun établi avec des recettes math­é­ma­tiques “mai­son”, générale­ment mal doc­u­men­tés et dont les codes infor­ma­tiques ne sont pas ren­dus publics (voir en par­ti­c­uli­er les jus­ti­fi­ca­tions don­nées par N. Fer­gu­son, con­sid­éré comme le meilleur spé­cial­iste de ce domaine : « En mars, Fer­gu­son a admis que son mod­èle de la mal­adie Covid-19 de l’Im­pe­r­i­al Col­lege était basé sur un code infor­ma­tique vieux de 13 ans, non doc­u­men­té, des­tiné à être util­isé pour une pandémie de grippe red­outée, plutôt que pour un coro­n­avirus. Fer­gu­son a refusé de divulguer son code orig­i­nal pour que d’autres sci­en­tifiques puis­sent véri­fi­er ses résul­tats. Il n’a pub­lié une série de codes forte­ment révisés que la semaine dernière, après un délai de six semaines).
C’est la rai­son pour laque­lle je pré­conise d’u­tilis­er, au moins de façon com­plé­men­taire, un mod­èle sim­pli­fié cor­rigeant le “spe­cial case” de 1927 (ce qui est très facile, voir mes arti­cles) et util­isant Excel, afin que des non-math­é­mati­ciens (en par­ti­c­uli­er les énar­ques et les médecins qui co-gèrent actuelle­ment les actions des pou­voirs publics) puis­sent mieux com­pren­dre l’évo­lu­tion de l’épidémie et deman­der éventuelle­ment aux respon­s­ables des mod­èles insti­tu­tion­nels des véri­fi­ca­tions ou les résul­tats d’hy­pothès­es différentes.

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