Covid-19 : perspectives d’infection par le variant Omicron

L’arrivée du très con­tagieux vari­ant Omi­cron remet en cause de façon rad­i­cale les pro­jec­tions précé­dentes, basées sur la vac­ci­na­tion et les car­ac­téris­tiques d’autres vari­ants. On ne con­naît pas exacte­ment le degré de pro­tec­tion con­tre Omi­cron apporté par les vac­cins actuels ou par l’immunisation résul­tant d’infections antérieures. De même ne sont pas encore bien con­nus le degré de dan­gerosité de ce virus et la pro­por­tion d’infectés qui devra être prise en charge par le sys­tème hos­pi­tal­ier. La présente note expose une méthode de cal­cul sim­ple qui per­met de bal­ay­er une série de scé­nar­ios basés sur les hypothès­es qui parais­sent aujourd’hui les plus probables.

Rappel sur l’historique de la Covid-19

Cette pandémie mon­di­ale a pris en France la forme de 6 vagues successives.

Le paramètre qui per­met de ren­dre compte du développe­ment d’une épidémie est le coef­fi­cient de repro­duc­tion de base R₀ qui est le nom­bre de per­son­nes que con­t­a­mine en moyenne un indi­vidu infec­tieux pen­dant toute la durée entre son infec­tion et la fin de sa con­ta­giosité, en sup­posant qu’il est en con­tact avec une pop­u­la­tion dont tous les mem­bres sont sus­cep­ti­bles d’être con­t­a­m­inés. L’expérience des con­fine­ments, cou­vre-feux, pass­es san­i­taires, mesures-bar­rières… a mis en évi­dence les règles approx­i­ma­tives suiv­antes dans les pays qui avaient un mode de vie sem­blable à celui de la France avant mars 2020 :

- un con­fine­ment strict de type mars-mai 2020 per­met de divis­er le coef­fi­cient de repro­duc­tion de base R₀ par 4

- des mesures moins strictes (mesures bar­rières, cou­vre-feux, con­trôles d’accès à cer­tains lieux…) entraî­nent une réduc­tion net­te­ment plus faible.

L’expérience de la vac­ci­na­tion nous a mon­tré que la pro­tec­tion qui en résul­tait dimin­u­ait d’une façon sig­ni­fica­tive après quelques mois. Ceci a entraîné la général­i­sa­tion de l’injection d’une « 3^ème dose ».

L’expérience et le cal­cul nous ont mon­tré que, dans une pop­u­la­tion sus­cep­ti­ble d’être con­t­a­m­inée simul­tané­ment par deux types de virus, il suff­i­sait de quelques semaines pour qu’un nou­veau vari­ant de con­ta­giosité deux fois plus forte rem­place pra­tique­ment com­plète­ment le virus déjà en place.

Covid en 2022 : une épidémie rapidement « 100% Omicron »

Ceci sig­ni­fie que très rapi­de­ment l’épidémie va être « 100% Omi­cron », ce qui présente pour sa mod­éli­sa­tion un avan­tage et un inconvénient.

L’avantage est la sim­pli­fi­ca­tion des cal­culs. En effet (sauf bien sûr si un vari­ant encore plus con­tagieux qu’Omicron appa­rais­sait) le rôle réel d’une faible pro­por­tion sub­sidi­aire de vari­ants autres qu’Omicron sera suff­isam­ment mar­gin­al pour que, compte tenu de la valeur incer­taine de nom­breux autres paramètres, on puisse se con­tenter début 2022 d’un mod­èle sim­u­lant l’évolution de l’épidémie due au seul Omicron.

L’inconvénient est que, compte tenu du manque de recul, nous ne savons pas s’il y a coïn­ci­dence entre la pop­u­la­tion sus­cep­ti­ble d’être infec­tée par les vari­ants antérieurs (pop­u­la­tion dont nous avons une idée, même approx­i­ma­tive) et celle sus­cep­ti­ble de l’être par Omi­cron. Ceci veut dire que va man­quer pen­dant quelques semaines un paramètre essen­tiel per­me­t­tant de ren­dre compte et si pos­si­ble d’anticiper l’évolution de l’épidémie « 100% Omicron ».

Modélisation

La déf­i­ni­tion de R₀ per­met d’écrire l’égalité très sim­ple qui, indépen­dam­ment de toute con­nais­sance math­é­ma­tique autre que celle des 4 opéra­tions de base, rend compte de l’évolution de l’épidémie au cours du temps :

- Rap­pel : R₀ est le nom­bre moyen de per­son­nes faisant par­tie d’une pop­u­la­tion entière­ment con­t­a­m­inable que con­t­a­mine un indi­vidu infec­tieux pen­dant toute la durée entre son infec­tion et la fin de sa con­ta­giosité (D jours)

- R₀ x I / D est donc est le nom­bre de per­son­nes faisant par­tie d’une telle pop­u­la­tion que con­t­a­mi­nent en moyenne I indi­vidus infec­tieux pen­dant 1 jour

- si en fait par­mi une pop­u­la­tion totale de N per­son­nes seuls S sont con­t­a­m­inables, il faut mul­ti­pli­er la quan­tité précé­dente par S/N, prob­a­bil­ité de tomber lors d’une ren­con­tre sur une per­son­ne contaminable.

Face à une épidémie Omi­cron de coef­fi­cient de base R₀ très élevé il con­vient d’éviter tout emploi de la tra­di­tion­nelle notion de « taux de fin d’infection d’une pop­u­la­tion malade » enseignée dans les cours d’épidémiologie du monde entier et util­isée par un grand nom­bre de mod­élisa­teurs dans des sys­tèmes d’équations dif­féren­tielles. En effet cette notion appliquée à des pop­u­la­tions con­sti­tuées d’un agré­gat d’infectés tombés malades à des dates dif­férentes con­duit à des résul­tats erronés.

C’est pour­tant la méthode qu’emploient tous ceux qui par­tent des équa­tions bien con­nues de Ker­ma­ck et McK­endrick (1927) cen­sées ren­dre compte du sché­ma SIR (divi­sion de la pop­u­la­tion en 3 caté­gories : — sus­cep­ti­bles d’être infec­tés, infec­tés, remis et immu­nisés (ou décédés) alors que comme l’indique l’annexe de la com­mu­ni­ca­tion fon­da­trice de 1927, ces équa­tions sont une sim­pli­fi­ca­tion qui cor­re­spond à ce que les auteurs ont appelé un spe­cial case à con­stant rates de guéri­son ¹. Comme nous l’avons men­tion­né dans des arti­cles antérieurs, les équa­tions qui représen­tent de façon cor­recte l’idée de base du mod­èle SIR sont celles qui sup­posent une durée de con­ta­giosité con­stante entre infec­tion et fin de con­ta­giosité, con­duisant à ce que nous avons appelé le mod­èle SIR_tcc (tcc pour temps de con­ta­giosité con­stant) facile à met­tre en œuvre depuis l’arrivée de l’informatique (voir plus loin).

D’autre part l’emploi du cal­cul infinitési­mal n’apporte aucun avan­tage de pré­ci­sion par rap­port à celui d’équations aux dif­férences finies de pas tem­porel égal à une journée. En effet, aucun inter­valle de temps inférieur à la journée n’est per­ti­nent, puisque l’infection cor­re­spon­dante dépend de con­tacts entre indi­vidus, con­tacts rad­i­cale­ment dif­férents selon l’heure (avec en par­ti­c­uli­er un fort con­traste entre le jour et la nuit).

Enfin, l’emploi de mod­èles dis­crets per­met d’utiliser des logi­ciels courants (tableurs) pour mod­élis­er de façon très sim­ple des développe­ments d’épidémies dans des con­textes médi­caux (début d’épidémie, arrivée de nou­veaux vari­ants, vac­ci­na­tions, perte pro­gres­sive d’immunité…) et non-médi­caux (con­fine­ments, cou­vre-feux, mesures-bar­rières, restric­tions d’accès, quar­an­taines, mod­i­fi­ca­tions spon­tanées de com­porte­ment de la pop­u­la­tion…) extrême­ment fluc­tu­ants et ne pou­vant être défi­nis facile­ment par des fonc­tions math­é­ma­tiques du temps.

À con­di­tion d’avoir des don­nées biologiques fiables (ce qui n’est pas encore le cas aujourd’hui…), cette méthode per­met de déter­min­er facile­ment dans dif­férentes hypothès­es les quan­tités suiv­antes, essen­tielles pour déter­min­er les poli­tiques san­i­taires com­pat­i­bles avec les ressources hos­pi­tal­ières du pays :

- le nom­bre max­i­mum quo­ti­di­en de nou­veaux infec­tés Omi­cron pen­dant toute la durée de cette sous‑pandémie

- le nom­bre max­i­mum d’in­fec­tés simul­tanés Omi­cron pen­dant cette même durée

Un pre­mier tableur sim­ple répar­tit de façon uni­forme la con­ta­giosité d’une per­son­ne infec­tée pen­dant la durée D de son infection.

Un deux­ième tableur plus com­plexe peut tenir compte d’une con­ta­giosité vari­ant de jour en jour pen­dant la durée D. Cette don­née n’étant pas encore disponible pour Omi­cron, nous avons util­isé pro­vi­soire­ment une courbe de con­ta­giosité jour par jour entre infec­tion et fin de con­ta­giosité cor­re­spon­dant à un vari­ant antérieur ².

Données médicales

Les chiffres approx­i­mat­ifs de début décem­bre, cor­re­spon­dant apparem­ment à une sta­bil­i­sa­tion de la sous-épidémie Delta, sont les suivants :

- 1 500 admis­sions quo­ti­di­ennes à l’hôpital (d’où 16 000 hospitalisés),

- 300 admis­sions quo­ti­di­ennes en réan­i­ma­tion (d’où 3 000 per­son­nes en ser­vice de réanimation).

À cette époque, env­i­ron 50 000 nou­veaux cas étaient détec­tés chaque jour. Ce chiffre est vraisem­blable­ment très en‑dessous de la réal­ité. Dans des études antérieures l’Institut Pas­teur a estimé qu’il fal­lait le doubler.

On aurait donc pour la phase de l’épidémie due essen­tielle­ment au vari­ant Delta les taux réels suiv­ants :

- entrée à l’hôpital de 1,5 % des nou­veaux infec­tés ; séjour moyen à l’hôpital de 10,7 jours

- entrée en réan­i­ma­tion de 0,3 % des infec­tés ; séjour moyen en réan­i­ma­tion de 10 jours

Les chiffres cor­re­spon­dants pour le vari­ant Omi­cron ne sont pas encore con­nus de façon pré­cise. Les pre­mières éval­u­a­tions parais­sent jus­ti­fi­er une divi­sion par 2 ou 3 des taux précédents.

Résultats

Nous avons util­isé les 2 tableurs décrits plus haut. Nous avons con­staté que le raf­fine­ment dans la mod­éli­sa­tion du 2^ème tableur n’entraînait pas de mod­i­fi­ca­tion sig­ni­fica­tive des résul­tats obtenus avec le tableur le plus sim­ple qui est donc celui qui sera util­isé pour génér­er les courbes qui suivent.

Nous avons simulé une épidémie Omicron :

- de R₀ Omi­cron égal à 6 (compte tenu du mode de vie de la pop­u­la­tion fin 2021), lim­ite haute des éval­u­a­tions actuelles que nous avons retenue par pré­cau­tion (le cas d’un R₀ Omi­cron plus petit est étudié dans la suite de l’article)

- pour plusieurs valeurs sup­posées de S₀ Omicron/N (pro­por­tion de la pop­u­la­tion sus­cep­ti­ble d’être infec­tée par Omi­cron, c’est-à-dire que ni la vac­ci­na­tion ni une infec­tion-guéri­son antérieure n’ont immu­nisé con­tre ce vari­ant), cette valeur actuelle­ment incon­nue de façon pré­cise étant vraisem­blable­ment net­te­ment plus impor­tante que S₀ Delta/N (pro­por­tion sus­cep­ti­ble d’être infec­tée par Delta).

Actuelle­ment, nous n’avons pas de don­nées quan­ti­ta­tives fiables sur

- la perte pro­gres­sive avec le temps de l’immunisation con­tre Omi­cron dont béné­fi­cient les vac­cinés et les infec­tés par les vari­ants antérieurs (« 2020 », Alpha, Delta),

- le taux d’immunisation réel con­tre Omi­cron des 3^èmes doses.

Ces 3^èmes dos­es étant actuelle­ment dis­pen­sées à un rythme voisin de celui des vac­ci­na­tions d’il y a 6 mois dont l’immunisation est en train de dis­paraître, nous sup­poserons en pre­mière approx­i­ma­tion que pen­dant les pre­mières semaines de 2022 l’effet résul­tant de ces deux fac­teurs antag­o­nistes sera faible par rap­port à celui des immu­ni­sa­tions résul­tant d’une infec­tion par Omi­cron suiv­ie de guéri­son et nous n’en tien­drons pas compte dans les calculs.

La courbe qui suit représente le nom­bre max­i­mal quo­ti­di­en d’infections cal­culé à par­tir de la pro­por­tion de la pop­u­la­tion sup­posée sus­cep­ti­ble d’être infec­tée par Omi­cron à l’arrivée de ce virus.

Le nom­bre quo­ti­di­en de nou­velles infec­tions con­statées par des tests (360 000 le 12 jan­vi­er 2022) sem­ble avoir amor­cé un plateau. Si nous recon­duisons l’estimation antérieure de l’Institut Pas­teur (un nom­bre équiv­a­lent d’infections – en par­ti­c­uli­er asymp­to­ma­tiques – n’aurait pas été con­staté) ceci revient à estimer que le nom­bre max­i­mum quo­ti­di­en d’infectés Omi­cron est env­i­ron 700 000.

D’après cette courbe, ceci sig­ni­fierait qu’au moment de l’apparition d’Omicron env­i­ron 22,6 mil­lions ³ de per­son­nes (y com­pris les enfants) vivant en France n’étaient pas ou plus immu­nisées vis-à-vis de ce vari­ant (que ce soit par vac­ci­na­tion, infec­tion Covid-19 suivi de guéri­son ou éventuelle immu­nité naturelle).

La courbe qui suit représente les con­séquences de ce qui précède sur le sys­tème hospitalier.

Lec­ture : Si 22,6 mil­lions de per­son­nes vivant en France n’étaient pas ou plus immu­nisées vis-à-vis d’Omicron à son arrivée, et si les con­di­tions de vie main­ti­en­nent R₀ Omi­cron aux alen­tours de 6, le nom­bre max­i­mum d’infectés simul­tanés sera d’environ 6,7 millions.

Ceci a les con­séquences suiv­antes sur les besoins de capac­ité hospitalière :

Note impor­tante : ces nom­bres n’incluent pas les infec­tés Delta, qui devraient avoir pra­tique­ment dis­paru au moment du pic des infec­tions Omicron.

Influence de nouvelles mesures « non-pharmaceutiques »

Nous avons établi les mêmes courbes dans le cas d’une réduc­tion de 20 % de R₀ Omi­cron par de nou­velles mesures dites « non‑pharmaceutiques » : réduc­tion du nom­bre de con­tacts et de la prob­a­bil­ité d’infection lors de cha­cun de ces contacts.

Pour une même pop­u­la­tion de 22,6 mil­lions de per­son­nes sus­cep­ti­bles d’être con­t­a­m­inées par Omi­cron, la réduc­tion de 20% de R₀ Omi­cron réduirait de 700 000 à 370 000 le nom­bre max­i­mal quo­ti­di­en de nou­veaux infec­tés et de 6,7 à env­i­ron 3,6 mil­lions le nom­bre max­i­mum d’infectés simultanés.

Ceci a les con­séquences suiv­antes sur les besoins de capac­ité hospitalière :

Note impor­tante : ces nom­bres n’incluent pas les infec­tés Delta, qui devraient avoir pra­tique­ment dis­paru au moment du pic des infec­tions Omicron.

Influence de la vaccination

Les pro­jec­tions qui précè­dent mon­trent qu’une con­jonc­tion des hypothès­es les plus défa­vor­ables sur l’immunisation réelle de la pop­u­la­tion con­tre le vari­ant Omega risque d’amener à une sit­u­a­tion cri­tique. Par pré­cau­tion la poli­tique vac­ci­nale actuelle, dont nous ne pou­vons pas encore mesur­er l’efficacité réelle con­tre ce vari­ant, doit donc être com­plétée dès main­tenant par des mesures dites « non‑pharmaceutiques » à ajuster en per­ma­nence à l’évolution de l’épidémie Omi­cron. Par chance l’expérience et les cal­culs très sim­ples que nous avons présen­tés mon­trent que l’effet de ces mesures, à défaut d’être pérenne, est extrême­ment rapi­de et puissant.

L’annexe jointe mon­tre qu’une hypothé­tique vac­ci­na­tion ciblée immu­nisant 200 000 per­son­nes sup­plé­men­taires par jour serait trop tar­dive pour provo­quer une baisse rad­i­cale des séjours à l’hôpital pen­dant les prochaines semaines. En revanche elle pré­par­erait à une remon­tée de R₀ par retour pro­gres­sif à une vie normale.

ANNEXE

Influ­ence d’une inten­si­fi­ca­tion de la vaccination

Hypothèse de 200 000 immu­ni­sa­tions quo­ti­di­ennes sup­plé­men­taires par vac­ci­na­tions ciblées sur les 22,6 mil­lions de sus­cep­ti­bles à Omicron

1. Ker­ma­ck, W. O., McK­endrick, A. & Walk­er, G. T. A con­tri­bu­tion to the math­e­mat­i­cal the­o­ry of epi­demics. Proc. R. Soc. A 115, 700–721. https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0118 (1927) Pages 712–713

2. « Back to the roots : a dis­crete Ker­ma­ck-McK­endrick mod­el adapt­ed to Covid-19 » Matthias Kreck (Uni­ver­sité de Bonn) et Ehrard Scholz (Uni­ver­sité de Wup­per­tal) Pages 9–11

3. On con­sul­tera avec intérêt le site https://corona-circule.github.io/lettres/ qui a décidé d’adopter le SIRtcc et qui arrive, après inté­gra­tion des effets de la vac­ci­na­tion, à un résul­tat très voisin (24 mil­lions) du nom­bre de per­son­nes vivant en France sus­cep­ti­bles d’être infec­tées par Omicron.

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