Covid-19 : perspectives d’infection par le variant Omicron

L’arrivée du très conta­gieux variant Omi­cron remet en cause de façon radi­cale les pro­jec­tions pré­cé­dentes, basées sur la vac­ci­na­tion et les carac­té­ris­tiques d’autres variants. On ne connaît pas exac­te­ment le degré de pro­tec­tion contre Omi­cron appor­té par les vac­cins actuels ou par l’immunisation résul­tant d’infections anté­rieures. De même ne sont pas encore bien connus le degré de dan­ge­ro­si­té de ce virus et la pro­por­tion d’infectés qui devra être prise en charge par le sys­tème hos­pi­ta­lier. La pré­sente note expose une méthode de cal­cul simple qui per­met de balayer une série de scé­na­rios basés sur les hypo­thèses qui paraissent aujourd’hui les plus probables.

Rappel sur l’historique de la Covid-19

Cette pan­dé­mie mon­diale a pris en France la forme de 6 vagues successives.

Le para­mètre qui per­met de rendre compte du déve­lop­pe­ment d’une épi­dé­mie est le coef­fi­cient de repro­duc­tion de base R₀ qui est le nombre de per­sonnes que conta­mine en moyenne un indi­vi­du infec­tieux pen­dant toute la durée entre son infec­tion et la fin de sa conta­gio­si­té, en sup­po­sant qu’il est en contact avec une popu­la­tion dont tous les membres sont sus­cep­tibles d’être conta­mi­nés. L’expérience des confi­ne­ments, couvre-feux, passes sani­taires, mesures-bar­rières… a mis en évi­dence les règles approxi­ma­tives sui­vantes dans les pays qui avaient un mode de vie sem­blable à celui de la France avant mars 2020 :

- un confi­ne­ment strict de type mars-mai 2020 per­met de divi­ser le coef­fi­cient de repro­duc­tion de base R₀ par 4

- des mesures moins strictes (mesures bar­rières, couvre-feux, contrôles d’accès à cer­tains lieux…) entraînent une réduc­tion net­te­ment plus faible.

L’expérience de la vac­ci­na­tion nous a mon­tré que la pro­tec­tion qui en résul­tait dimi­nuait d’une façon signi­fi­ca­tive après quelques mois. Ceci a entraî­né la géné­ra­li­sa­tion de l’injection d’une « 3^ème dose ».

L’expérience et le cal­cul nous ont mon­tré que, dans une popu­la­tion sus­cep­tible d’être conta­mi­née simul­ta­né­ment par deux types de virus, il suf­fi­sait de quelques semaines pour qu’un nou­veau variant de conta­gio­si­té deux fois plus forte rem­place pra­ti­que­ment com­plè­te­ment le virus déjà en place.

Covid en 2022 : une épidémie rapidement « 100% Omicron »

Ceci signi­fie que très rapi­de­ment l’épidémie va être « 100% Omi­cron », ce qui pré­sente pour sa modé­li­sa­tion un avan­tage et un inconvénient.

L’avantage est la sim­pli­fi­ca­tion des cal­culs. En effet (sauf bien sûr si un variant encore plus conta­gieux qu’Omicron appa­rais­sait) le rôle réel d’une faible pro­por­tion sub­si­diaire de variants autres qu’Omicron sera suf­fi­sam­ment mar­gi­nal pour que, compte tenu de la valeur incer­taine de nom­breux autres para­mètres, on puisse se conten­ter début 2022 d’un modèle simu­lant l’évolution de l’épidémie due au seul Omicron.

L’inconvénient est que, compte tenu du manque de recul, nous ne savons pas s’il y a coïn­ci­dence entre la popu­la­tion sus­cep­tible d’être infec­tée par les variants anté­rieurs (popu­la­tion dont nous avons une idée, même approxi­ma­tive) et celle sus­cep­tible de l’être par Omi­cron. Ceci veut dire que va man­quer pen­dant quelques semaines un para­mètre essen­tiel per­met­tant de rendre compte et si pos­sible d’anticiper l’évolution de l’épidémie « 100% Omicron ».

Modélisation

La défi­ni­tion de R₀ per­met d’écrire l’égalité très simple qui, indé­pen­dam­ment de toute connais­sance mathé­ma­tique autre que celle des 4 opé­ra­tions de base, rend compte de l’évolution de l’épidémie au cours du temps :

- Rap­pel : R₀ est le nombre moyen de per­sonnes fai­sant par­tie d’une popu­la­tion entiè­re­ment conta­mi­nable que conta­mine un indi­vi­du infec­tieux pen­dant toute la durée entre son infec­tion et la fin de sa conta­gio­si­té (D jours)

- R₀ x I / D est donc est le nombre de per­sonnes fai­sant par­tie d’une telle popu­la­tion que conta­minent en moyenne I indi­vi­dus infec­tieux pen­dant 1 jour

- si en fait par­mi une popu­la­tion totale de N per­sonnes seuls S sont conta­mi­nables, il faut mul­ti­plier la quan­ti­té pré­cé­dente par S/N, pro­ba­bi­li­té de tom­ber lors d’une ren­contre sur une per­sonne contaminable.

Face à une épi­dé­mie Omi­cron de coef­fi­cient de base R₀ très éle­vé il convient d’éviter tout emploi de la tra­di­tion­nelle notion de « taux de fin d’infection d’une popu­la­tion malade » ensei­gnée dans les cours d’épidémiologie du monde entier et uti­li­sée par un grand nombre de modé­li­sa­teurs dans des sys­tèmes d’équations dif­fé­ren­tielles. En effet cette notion appli­quée à des popu­la­tions consti­tuées d’un agré­gat d’infectés tom­bés malades à des dates dif­fé­rentes conduit à des résul­tats erronés.

C’est pour­tant la méthode qu’emploient tous ceux qui partent des équa­tions bien connues de Ker­mack et McKen­drick (1927) cen­sées rendre compte du sché­ma SIR (divi­sion de la popu­la­tion en 3 caté­go­ries : – sus­cep­tibles d’être infec­tés, infec­tés, remis et immu­ni­sés (ou décé­dés) alors que comme l’indique l’annexe de la com­mu­ni­ca­tion fon­da­trice de 1927, ces équa­tions sont une sim­pli­fi­ca­tion qui cor­res­pond à ce que les auteurs ont appe­lé un spe­cial case à constant rates de gué­ri­son ¹. Comme nous l’avons men­tion­né dans des articles anté­rieurs, les équa­tions qui repré­sentent de façon cor­recte l’idée de base du modèle SIR sont celles qui sup­posent une durée de conta­gio­si­té constante entre infec­tion et fin de conta­gio­si­té, condui­sant à ce que nous avons appe­lé le modèle SIR_tcc (tcc pour temps de conta­gio­si­té constant) facile à mettre en œuvre depuis l’arrivée de l’informatique (voir plus loin).

D’autre part l’emploi du cal­cul infi­ni­té­si­mal n’apporte aucun avan­tage de pré­ci­sion par rap­port à celui d’équations aux dif­fé­rences finies de pas tem­po­rel égal à une jour­née. En effet, aucun inter­valle de temps infé­rieur à la jour­née n’est per­ti­nent, puisque l’infection cor­res­pon­dante dépend de contacts entre indi­vi­dus, contacts radi­ca­le­ment dif­fé­rents selon l’heure (avec en par­ti­cu­lier un fort contraste entre le jour et la nuit).

Enfin, l’emploi de modèles dis­crets per­met d’utiliser des logi­ciels cou­rants (tableurs) pour modé­li­ser de façon très simple des déve­lop­pe­ments d’épidémies dans des contextes médi­caux (début d’épidémie, arri­vée de nou­veaux variants, vac­ci­na­tions, perte pro­gres­sive d’immunité…) et non-médi­caux (confi­ne­ments, couvre-feux, mesures-bar­rières, res­tric­tions d’accès, qua­ran­taines, modi­fi­ca­tions spon­ta­nées de com­por­te­ment de la popu­la­tion…) extrê­me­ment fluc­tuants et ne pou­vant être défi­nis faci­le­ment par des fonc­tions mathé­ma­tiques du temps.

À condi­tion d’avoir des don­nées bio­lo­giques fiables (ce qui n’est pas encore le cas aujourd’hui…), cette méthode per­met de déter­mi­ner faci­le­ment dans dif­fé­rentes hypo­thèses les quan­ti­tés sui­vantes, essen­tielles pour déter­mi­ner les poli­tiques sani­taires com­pa­tibles avec les res­sources hos­pi­ta­lières du pays :

- le nombre maxi­mum quo­ti­dien de nou­veaux infec­tés Omi­cron pen­dant toute la durée de cette sous‑pandémie

- le nombre maxi­mum d’in­fec­tés simul­ta­nés Omi­cron pen­dant cette même durée

Un pre­mier tableur simple répar­tit de façon uni­forme la conta­gio­si­té d’une per­sonne infec­tée pen­dant la durée D de son infection.

Un deuxième tableur plus com­plexe peut tenir compte d’une conta­gio­si­té variant de jour en jour pen­dant la durée D. Cette don­née n’étant pas encore dis­po­nible pour Omi­cron, nous avons uti­li­sé pro­vi­soi­re­ment une courbe de conta­gio­si­té jour par jour entre infec­tion et fin de conta­gio­si­té cor­res­pon­dant à un variant anté­rieur ².

Données médicales

Les chiffres approxi­ma­tifs de début décembre, cor­res­pon­dant appa­rem­ment à une sta­bi­li­sa­tion de la sous-épi­dé­mie Del­ta, sont les suivants :

- 1 500 admis­sions quo­ti­diennes à l’hôpital (d’où 16 000 hospitalisés),

- 300 admis­sions quo­ti­diennes en réani­ma­tion (d’où 3 000 per­sonnes en ser­vice de réanimation).

À cette époque, envi­ron 50 000 nou­veaux cas étaient détec­tés chaque jour. Ce chiffre est vrai­sem­bla­ble­ment très en‑dessous de la réa­li­té. Dans des études anté­rieures l’Institut Pas­teur a esti­mé qu’il fal­lait le doubler.

On aurait donc pour la phase de l’épidémie due essen­tiel­le­ment au variant Del­ta les taux réels sui­vants :

- entrée à l’hôpital de 1,5 % des nou­veaux infec­tés ; séjour moyen à l’hôpital de 10,7 jours

- entrée en réani­ma­tion de 0,3 % des infec­tés ; séjour moyen en réani­ma­tion de 10 jours

Les chiffres cor­res­pon­dants pour le variant Omi­cron ne sont pas encore connus de façon pré­cise. Les pre­mières éva­lua­tions paraissent jus­ti­fier une divi­sion par 2 ou 3 des taux précédents.

Résultats

Nous avons uti­li­sé les 2 tableurs décrits plus haut. Nous avons consta­té que le raf­fi­ne­ment dans la modé­li­sa­tion du 2^ème tableur n’entraînait pas de modi­fi­ca­tion signi­fi­ca­tive des résul­tats obte­nus avec le tableur le plus simple qui est donc celui qui sera uti­li­sé pour géné­rer les courbes qui suivent.

Nous avons simu­lé une épi­dé­mie Omicron :

- de R₀ Omi­cron égal à 6 (compte tenu du mode de vie de la popu­la­tion fin 2021), limite haute des éva­lua­tions actuelles que nous avons rete­nue par pré­cau­tion (le cas d’un R₀ Omi­cron plus petit est étu­dié dans la suite de l’article)

- pour plu­sieurs valeurs sup­po­sées de S₀ Omicron/N (pro­por­tion de la popu­la­tion sus­cep­tible d’être infec­tée par Omi­cron, c’est-à-dire que ni la vac­ci­na­tion ni une infec­tion-gué­ri­son anté­rieure n’ont immu­ni­sé contre ce variant), cette valeur actuel­le­ment incon­nue de façon pré­cise étant vrai­sem­bla­ble­ment net­te­ment plus impor­tante que S₀ Delta/N (pro­por­tion sus­cep­tible d’être infec­tée par Delta).

Actuel­le­ment, nous n’avons pas de don­nées quan­ti­ta­tives fiables sur

- la perte pro­gres­sive avec le temps de l’immunisation contre Omi­cron dont béné­fi­cient les vac­ci­nés et les infec­tés par les variants anté­rieurs (« 2020 », Alpha, Delta),

- le taux d’immunisation réel contre Omi­cron des 3^èmes doses.

Ces 3^èmes doses étant actuel­le­ment dis­pen­sées à un rythme voi­sin de celui des vac­ci­na­tions d’il y a 6 mois dont l’immunisation est en train de dis­pa­raître, nous sup­po­se­rons en pre­mière approxi­ma­tion que pen­dant les pre­mières semaines de 2022 l’effet résul­tant de ces deux fac­teurs anta­go­nistes sera faible par rap­port à celui des immu­ni­sa­tions résul­tant d’une infec­tion par Omi­cron sui­vie de gué­ri­son et nous n’en tien­drons pas compte dans les calculs.

La courbe qui suit repré­sente le nombre maxi­mal quo­ti­dien d’infections cal­cu­lé à par­tir de la pro­por­tion de la popu­la­tion sup­po­sée sus­cep­tible d’être infec­tée par Omi­cron à l’arrivée de ce virus.

Le nombre quo­ti­dien de nou­velles infec­tions consta­tées par des tests (360 000 le 12 jan­vier 2022) semble avoir amor­cé un pla­teau. Si nous recon­dui­sons l’estimation anté­rieure de l’Institut Pas­teur (un nombre équi­valent d’infections – en par­ti­cu­lier asymp­to­ma­tiques – n’aurait pas été consta­té) ceci revient à esti­mer que le nombre maxi­mum quo­ti­dien d’infectés Omi­cron est envi­ron 700 000.

D’après cette courbe, ceci signi­fie­rait qu’au moment de l’apparition d’Omicron envi­ron 22,6 mil­lions ³ de per­sonnes (y com­pris les enfants) vivant en France n’étaient pas ou plus immu­ni­sées vis-à-vis de ce variant (que ce soit par vac­ci­na­tion, infec­tion Covid-19 sui­vi de gué­ri­son ou éven­tuelle immu­ni­té naturelle).

La courbe qui suit repré­sente les consé­quences de ce qui pré­cède sur le sys­tème hospitalier.

Lec­ture : Si 22,6 mil­lions de per­sonnes vivant en France n’étaient pas ou plus immu­ni­sées vis-à-vis d’Omicron à son arri­vée, et si les condi­tions de vie main­tiennent R₀ Omi­cron aux alen­tours de 6, le nombre maxi­mum d’infectés simul­ta­nés sera d’environ 6,7 millions.

Ceci a les consé­quences sui­vantes sur les besoins de capa­ci­té hospitalière :

Note impor­tante : ces nombres n’incluent pas les infec­tés Del­ta, qui devraient avoir pra­ti­que­ment dis­pa­ru au moment du pic des infec­tions Omicron.

Influence de nouvelles mesures « non-pharmaceutiques »

Nous avons éta­bli les mêmes courbes dans le cas d’une réduc­tion de 20 % de R₀ Omi­cron par de nou­velles mesures dites « non‑pharmaceutiques » : réduc­tion du nombre de contacts et de la pro­ba­bi­li­té d’infection lors de cha­cun de ces contacts.

Pour une même popu­la­tion de 22,6 mil­lions de per­sonnes sus­cep­tibles d’être conta­mi­nées par Omi­cron, la réduc­tion de 20% de R₀ Omi­cron rédui­rait de 700 000 à 370 000 le nombre maxi­mal quo­ti­dien de nou­veaux infec­tés et de 6,7 à envi­ron 3,6 mil­lions le nombre maxi­mum d’infectés simultanés.

Ceci a les consé­quences sui­vantes sur les besoins de capa­ci­té hospitalière :

Note impor­tante : ces nombres n’incluent pas les infec­tés Del­ta, qui devraient avoir pra­ti­que­ment dis­pa­ru au moment du pic des infec­tions Omicron.

Influence de la vaccination

Les pro­jec­tions qui pré­cèdent montrent qu’une conjonc­tion des hypo­thèses les plus défa­vo­rables sur l’immunisation réelle de la popu­la­tion contre le variant Ome­ga risque d’amener à une situa­tion cri­tique. Par pré­cau­tion la poli­tique vac­ci­nale actuelle, dont nous ne pou­vons pas encore mesu­rer l’efficacité réelle contre ce variant, doit donc être com­plé­tée dès main­te­nant par des mesures dites « non‑pharmaceutiques » à ajus­ter en per­ma­nence à l’évolution de l’épidémie Omi­cron. Par chance l’expérience et les cal­culs très simples que nous avons pré­sen­tés montrent que l’effet de ces mesures, à défaut d’être pérenne, est extrê­me­ment rapide et puissant.

L’annexe jointe montre qu’une hypo­thé­tique vac­ci­na­tion ciblée immu­ni­sant 200 000 per­sonnes sup­plé­men­taires par jour serait trop tar­dive pour pro­vo­quer une baisse radi­cale des séjours à l’hôpital pen­dant les pro­chaines semaines. En revanche elle pré­pa­re­rait à une remon­tée de R₀ par retour pro­gres­sif à une vie normale.

ANNEXE

Influence d’une inten­si­fi­ca­tion de la vaccination

Hypo­thèse de 200 000 immu­ni­sa­tions quo­ti­diennes sup­plé­men­taires par vac­ci­na­tions ciblées sur les 22,6 mil­lions de sus­cep­tibles à Omicron

1. Ker­mack, W. O., McKen­drick, A. & Wal­ker, G. T. A contri­bu­tion to the mathe­ma­ti­cal theo­ry of epi­de­mics. Proc. R. Soc. A 115, 700–721. https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0118 (1927) Pages 712–713

2. « Back to the roots : a dis­crete Ker­mack-McKen­drick model adap­ted to Covid-19 » Mat­thias Kreck (Uni­ver­si­té de Bonn) et Ehrard Scholz (Uni­ver­si­té de Wup­per­tal) Pages 9–11

3. On consul­te­ra avec inté­rêt le site https://corona-circule.github.io/lettres/ qui a déci­dé d’adopter le SIRtcc et qui arrive, après inté­gra­tion des effets de la vac­ci­na­tion, à un résul­tat très voi­sin (24 mil­lions) du nombre de per­sonnes vivant en France sus­cep­tibles d’être infec­tées par Omicron.

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