La modélisation des villes : une approche physique du phénomène urbain

Les villes sur­pren­nent et intéressent la com­mu­nauté sci­en­tifique depuis longtemps. Alors que jusqu’à main­tenant la loi de Zipf et le mod­èle de Gabaix sem­blaient répon­dre à la ques­tion de l’évo­lu­tion démo­graphique des villes, une nou­velle thèse, qui essaie d’appliquer les méth­odes de physique à celle-ci, rec­ti­fie dans Nature la vision sto­chas­tique qui était admise et mon­tre que la poli­tique d’aménagement du ter­ri­toire a un rôle majeur à jouer en la matière.

Au sein d’une large com­mu­nauté sci­en­tifique, celle des écon­o­mistes, des soci­o­logues, des géo­graphes et des his­to­riens, les villes éton­nent par leur exis­tence. Cela n’a a pri­ori rien d’évident et traduit un intérêt des indi­vidus à se regrouper. Les villes sur­pren­nent aus­si parce qu’elles se ressem­blent beau­coup, à tra­vers les épo­ques et les cul­tures, et ce mal­gré la mul­ti­plic­ité des indi­vid­u­al­ités qui les sous-ten­dent. Les villes intéressent enfin parce qu’elles se dévelop­pent au point de regrouper, depuis peu, la majorité de la pop­u­la­tion mon­di­ale et d’être ain­si incon­tourn­ables dans la com­préhen­sion des sociétés mod­ernes. 

Cha­cun sous son micro­scope méthodologique ver­ra les villes à la lumière de sa for­ma­tion. Pour l’archéologue, une ville est la trace brunie de quelques murs enfouis dans le sable. Pour l’historien, un ensem­ble de doc­u­ments con­cor­dants qui traduisent en un lieu et en un temps une plaque d’activité com­mer­ciale ou intel­lectuelle par­ti­c­ulière­ment intense. Pour l’économiste, c’est un lieu d’échanges, d’innovation, un « marché » où se con­cré­tise la théorie des ren­de­ments crois­sants et des économies d’échelle, qui traduisent l’intérêt qu’ont à se regrouper les indi­vidus. Pour le géo­graphe, c’est une sur­face par­ti­c­ulière des ter­res émergées, où d’aucuns ont fait le choix de s’installer. 

Les physiciens ont leur mot à dire dans l’étude des phénomènes sociaux

La curiosité du phénomène urbain ain­si que les simil­i­tudes empiriques entre les villes du monde invi­tent à y rechercher des caus­es com­munes, un ensem­ble restreint de car­ac­téris­tiques qui devraient, espère-t-on, expli­quer pourquoi et com­ment les villes se dévelop­pent. Si par un heureux hasard, dans la com­plex­ité appar­ente des sociétés humaines, ces car­ac­téris­tiques min­i­males et uni­verselles pou­vaient aus­si se quan­ti­fi­er, se réduire à quelques quan­tités numériques – pop­u­la­tion, richesse, sur­face au sol – dont les rela­tions les unes avec les autres seraient sim­ples, il y aurait égale­ment cer­taine­ment matière à recherche pour le physi­cien. 

C’est en effet indé­ni­able­ment le tra­vail habituel d’un physi­cien de chercher, dans la com­plex­ité du monde, de ses inter­ac­tions, de son impré­dictibil­ité, à écrire des lois qui se veu­lent à la fois uni­verselles et sim­ples. Cette sim­plic­ité uni­verselle doit se traduire par l’écriture d’équations, qui com­por­tent le moins pos­si­ble de paramètres, de degrés de lib­erté. Le physi­cien se dif­féren­cie ain­si de l’économiste économètre. Der­rière la cor­réla­tion, ou la causal­ité, il cherche à élim­in­er l’ajustable. Bien sûr cette approche, comme la physique habituelle, ne peut être qu’empirique. Seules les don­nées urbaines réelles peu­vent tranch­er entre la bonne théorie et la mauvaise.

Les théories de physique appliquées aux sys­tèmes soci­aux ne doivent donc pas seule­ment être logiques, elles doivent aus­si être cohérentes avec les obser­va­tions. Évidem­ment, il faut bien le recon­naître, on ne peut qu’admettre qu’il y ait des phénomènes soci­aux qui ne se lais­seront jamais met­tre en équa­tion. Une sci­ence des villes quan­ti­ta­tive, physique, n’a pas voca­tion à tout expli­quer ; elle n’y arriverait jamais. Elle restera tou­jours l’exception et non la règle. 

Dans ma thèse, j’ai essayé de mon­tr­er com­ment appli­quer ce raison­nement à un sujet pré­cis : les dynamiques de pop­u­la­tions urbaines. 

La population permet d’en savoir plus sur de nombreux phénomènes urbains

L’étude de la pop­u­la­tion est la plus naturelle et con­séquem­ment la plus anci­enne des recherch­es urbaines. La pop­u­la­tion est une bonne vari­able pour mesur­er l’importance – on pour­rait dire le suc­cès – d’une ville. Elle est d’abord assez facile à mesur­er – pourvu qu’on se soit accordé sur les fron­tières de la ville – et les recense­ments de pop­u­la­tion urbains sont sou­vent anciens – ils remon­tent en France au Moyen Âge – et fiables. De plus, il est pos­si­ble de reli­er facile­ment la pop­u­la­tion à tout un tas d’autres phénomènes urbains : richesse, crime, inno­va­tion, embouteil­lages, développe­ment des trans­ports en com­mun, etc.

Dans de nom­breux cas, la rela­tion entre pop­u­la­tion et autre vari­able d’intérêt est linéaire, ou proche de la linéar­ité. Lorsque ce n’est pas le cas, on peut facile­ment l’approximer par une loi de puis­sance de la forme Y Pβ. Lorsque la valeur de l’exposant β est supérieure à 1, on par­le de ren­de­ments crois­sants : la vari­able aug­mente plus vite que la pop­u­la­tion, il y a un effet d’agglomération. Lorsqu’elle est plus petite que 1, on par­le de ren­de­ments décrois­sants : l’accumulation d’habitants freine la vari­able d’intérêt. 

“La population est une bonne variable pour mesurer l’importance et le succès d’une ville.”

Ces mesures d’exposants ne sont pas for­cé­ment très fiables et restent assez débattues dans la lit­téra­ture. Un fait qui est assez bien établi et que l’on retient sou­vent est que le pro­duit intérieur brut est à ren­de­ments crois­sants : un nou­v­el habi­tant entraîne une aug­men­ta­tion de pro­duc­tion supérieure à la pro­duc­tion moyenne par habi­tant. Mais, sur cette pop­u­la­tion elle-même, que peut-on dire ? L’économie et la géo­gra­phie ont con­vergé tout au long du XX^e siè­cle vers deux « lois démo­graphiques » urbaines, l’une sta­tique et l’autre dynamique. Elles for­ment le pre­mier chapitre de tout cours d’économie urbaine et restaient, jusqu’à très récem­ment, les deux faits sup­posé­ment les plus robustes de la théorie urbaine. 

La loi de Zipf décrit la répartition de la population entre les villes d’un pays

La pre­mière de ces lois, sta­tique, a été établie il y a plus d’un siè­cle par un (déjà) physi­cien alle­mand, Felix Auer­bach. Redé­cou­verte plus tard par le lin­guiste améri­cain George Zipf, qui l’a général­isée, elle reste con­nue sous le nom de loi de Zipf. En clas­sant les plus grandes villes alle­man­des en 1913 par pop­u­la­tion, Auer­bach obser­va que le pro­duit du rang des villes (la ville la plus peu­plée étant de rang 1) par leur pop­u­la­tion était à peu près con­stant. C’est la loi de Zipf, observée dans la plu­part des pays à dif­férentes épo­ques. C’est un résul­tat sta­tique, d’équilibre, dans un sys­tème de villes. 

Ce résul­tat car­ac­térise l’organisation hiérar­chique des villes et, en par­ti­c­uli­er, il quan­ti­fie l’occurrence sta­tis­tique des grandes villes. La loi de Zipf énonce que, dans tout pays, la ville la plus peu­plée est générale­ment deux fois plus grande que la suiv­ante, et ain­si de suite. Il s’agit d’une sig­na­ture de la très grande hétérogénéité de la taille des villes et mon­tre que les villes ne sont pas gou­vernées par des con­sid­éra­tions opti­males qui con­duiraient à une taille unique mais, au con­traire, que les tailles des villes sont large­ment dis­tribuées et suiv­ent une sorte de hiérar­chie. 

Le modèle de Gabaix décrit l’évolution de la population d’une ville

La sec­onde de ces lois, dynamique, cherche à car­ac­téris­er l’évolution de la pop­u­la­tion d’une ville au cours du temps. Évidem­ment, cette évo­lu­tion est mul­ti­fac­to­rielle, extrême­ment com­plexe, et per­son­ne ne saurait prédire avec cer­ti­tude si une ville va con­naître une forte crois­sance démo­graphique ou non. Pourquoi le petit oppidum gaulois de Lutèce est-il devenu la grande métro­pole qu’est Paris aujourd’hui, alors qu’à quelques cen­taines de kilo­mètres de là, Autun, fondée par Auguste comme « sœur et émule de Rome », n’a pas dépassé les 20 000 habi­tants pen­dant 2 000 ans ? 

Pour décrire l’évolution démo­graphique des villes – et incidem­ment pour mon­tr­er que la dis­tri­b­u­tion de pop­u­la­tion d’un sys­tème de villes au cours du temps doit con­verg­er vers la loi de Zipf – les écon­o­mistes et géo­graphes ont donc cher­ché à écrire une équa­tion dynamique qui repro­duisît sta­tis­tique­ment la hiérar­chie des villes. L’économiste français Xavier Gabaix a syn­thétisé à la fin des années 90 l’essentiel de cette recherche « sto­chas­tique » dans un mod­èle pili­er de l’économie urbaine, le mod­èle de Gabaix.

“Le modèle de Gabaix montre que les villes d’aujourd’hui sont la résultante d’un très grand nombre d’événements particuliers et aléatoires, qui ont fait émerger certaines villes tandis que d’autres disparaissaient.”

Le mod­èle de Gabaix mon­tre que les villes d’aujourd’hui sont la résul­tante d’un très grand nom­bre d’événements par­ti­c­uliers et aléa­toires, qui ont fait émerg­er cer­taines villes tan­dis que d’autres dis­parais­saient. Sous l’accumulation de « petits chocs » aléa­toires, le mod­èle de Gabaix mon­tre que la dis­tri­b­u­tion des pop­u­la­tions d’un sys­tème de ville con­verge vers la loi de Zipf, qui est essen­tielle­ment la con­séquence naturelle du hasard des nais­sances et des migra­tions. 

D’une cer­taine façon, on peut inter­préter le mod­èle de Gabaix comme un mod­èle du lais­sez-faire : les villes se répar­tis­sent spon­tané­ment vers une hiérar­chie iné­gal­i­taire du fait des petits chocs indépen­dants qu’elles subis­sent au cours de leur vie. Le mod­èle de Gabaix offre ain­si à la fois une cause et une inter­pré­ta­tion à la loi de Zipf, tout en expli­quant com­ment la pop­u­la­tion d’une ville évolue, au moins sta­tis­tique­ment, au cours du temps. 

Les limites de la loi de Zipf et du modèle de Gabaix

Le mod­èle de Gabaix et la loi de Zipf ont pour­tant un prob­lème. Ils ont été empirique­ment remis en cause aus­si vite que les pos­si­bil­ités de mesures, dans le temps et dans l’espace, se sont accrues. Dans beau­coup de pays, la mesure de la loi de Zipf, dont par ailleurs on mon­tre qu’elle peut facile­ment être « vue » par erreur, dépend de l’année, de la méth­ode de mesure, du nom­bre de villes que l’on regarde, etc. En d’autres ter­mes, dans la plu­part des cas, la loi de Zipf dépend davan­tage de la façon de la mesur­er que d’autre chose et, en règle générale, on ne peut pas croire qu’elle tienne. La répar­ti­tion des pop­u­la­tions urbaines est ain­si beau­coup plus com­plexe que ce que l’on pen­sait jusqu’à main­tenant et peut vari­er dans le temps. 

De plus, les petits chocs du mod­èle de Gabaix ne per­me­t­tent pas de ren­dre compte des grands chocs urbains his­toriques, par lesquels des villes peu­vent appa­raître ou dis­paraître en quelques mois : ruée vers l’or, épidémies majeures, villes nou­velles, guer­res, etc. Si la dis­tri­b­u­tion des villes est bien le résul­tat du hasard, encore faut-il savoir de quel hasard on par­le : celui qui s’accumule tous les jours ou celui qui en très peu de temps boule­verse le paysage urbain. 

Une nouvelle méthode pour modéliser l’évolution démographique

La meilleure façon de com­pren­dre com­ment les villes réagis­sent aux chocs qui influ­ent sur leur évo­lu­tion démo­graphique est donc encore de repar­tir de zéro, de la mesure réelle de la crois­sance urbaine. En analysant les don­nées démo­graphiques et migra­toires de plusieurs pays et sur plusieurs péri­odes, nous avons pu quan­ti­fi­er les dif­férentes con­tri­bu­tions à l’évolution de la pop­u­la­tion urbaine : le sol­de démo­graphique (nais­sances et décès), les migra­tions inter­na­tionales et les migra­tions interur­baines (déplace­ments d’une ville à une autre au sein d’un même pays). À par­tir de ces résul­tats, nous avons écrit une nou­velle équa­tion qui décrit l’évolution tem­porelle des pop­u­la­tions urbaines dans un pays.

De loin la démarche n’est pas très éloignée du mod­èle précé­dent : con­stru­ire une équa­tion sto­chas­tique de l’évolution de la pop­u­la­tion d’une ville. Mais, en s’intéressant pré­cisé­ment à la forme empirique du bruit, c’est-à-dire aux chocs qui influ­ent sur la vie des villes, nous procé­dons d’une démarche typ­ique de la physique sta­tis­tique : nous cher­chons à com­pren­dre si de petits change­ments quan­ti­tat­ifs locaux peu­vent entraîn­er de grands change­ments qual­i­tat­ifs globaux. Et, dans les faits, c’est ce que nous avons observé. 

La mesure exacte de la forme que pren­nent les chocs migra­toires dans les villes mon­tre que les pop­u­la­tions des villes sont davan­tage mod­i­fiées par de gros pics migra­toires (posi­tifs ou négat­ifs) que par une petite accu­mu­la­tion de change­ments. Ces chocs sont rares mais suff­isam­ment impor­tants pour chang­er le des­tin des villes, les faire émerg­er ou dis­paraître. Par exem­ple, pen­dant la ruée vers l’or, la pop­u­la­tion de San Fran­cis­co est passée d’un peu plus de 1 000 à 150 000 habi­tants entre 1850 et 1870. Plus près de nous, la pop­u­la­tion du Creusot a plus que décu­plé entre 1831 et 1856 grâce à l’im­plan­ta­tion de la famille Schnei­der. 

Une loi aux conséquences importantes sur le destin des villes

Nos travaux, récem­ment pub­liés dans la revue Nature (https://www.nature.com/articles/s41586-020‑2900‑x), offrent ain­si une nou­velle per­spec­tive sur le sort des villes. Ce ne sont pas les petits mais les grands événe­ments qui déter­mi­nent la démo­gra­phie urbaine et le sort des villes d’un pays. En par­ti­c­uli­er, ce sont les vagues occa­sion­nelles mais impor­tantes de migra­tion urbaine qui expliquent pourquoi cer­taines villes émer­gent et d’autres dis­parais­sent. Au fond, cette équa­tion est por­teuse d’un mes­sage opti­miste : elle mon­tre que le des­tin d’une ville n’est pas figé et ne dépend pas unique­ment de sa démographie.

Le suc­cès des villes s’explique davan­tage par des chocs externes, éventuelle­ment induits et con­trôlables, que par l’accumulation d’effets stricte­ment aléa­toires et fatals. Les déci­sions en matière de poli­tique urbaine et d’aménagement du ter­ri­toire ont donc un rôle majeur à jouer dans le ren­force­ment de l’attractivité d’une ville et peu­vent com­plète­ment chang­er sa dynamique de développe­ment et son his­toire future. 

Informations sur la thèse

Cette thèse a été pris en charge dans le cadre de la for­ma­tion doc­tor­ale des ingénieurs des ponts, des eaux et des forêts. Chaque année, une dizaine de jeunes ingénieurs a la pos­si­bil­ité de com­mencer sa car­rière publique par un pre­mier poste « doc­tor­al », sous la forme de trois ans de thèse sur un sujet proche des domaines d’intervention habituels des ingénieurs des ponts, des eaux et des forêts.

Après une for­ma­tion de physique très théorique en mas­ter, il n’était pas évi­dent de trou­ver un sujet de recherche qui croisât mes com­pé­tences académiques et l’activité d’un futur fonc­tion­naire. Néan­moins, la ten­dance par laque­lle, depuis les années 1980, la physique sta­tis­tique, habituée à décrire et expli­quer des sys­tèmes com­plex­es, a essaimé en-dehors de la physique tra­di­tion­nelle, notam­ment vers les sci­ences sociales, a per­mis de résoudre cette appar­ente incompatibilité.

Mon directeur de thèse, Marc Barthele­my, physi­cien passé de la physique aux réseaux et des réseaux aux mod­éli­sa­tions urbaines, offrait l’une de ces quelques options d’ouverture académique qui m’ont per­mis de réc­on­cili­er for­ma­tion passée et car­rière future. Cette thèse, de « Mod­éli­sa­tion des sys­tèmes urbains », soutenue à Paris le 7 juil­let 2022 devant un jury néces­saire­ment pluridis­ci­plinaire, et d’ailleurs présidée par Denise Pumain, mère de la géo­gra­phie quan­ti­ta­tive en France, a ten­té de témoign­er qu’il était toute­fois pos­si­ble de faire des sci­ences en mêlant plusieurs disciplines.

Information sur le laboratoire

Con­duite à l’Institut de physique théorique, lab­o­ra­toire de recherche fon­da­men­tale situé sur le plateau de Saclay, rat­taché à la Direc­tion de la Recherche Fon­da­men­tale (DRF) du CEA et asso­cié à l’U­ni­ver­sité Paris-Saclay, ma thèse se trou­ve à l’intersection d’une recherche très fon­da­men­tale et théorique, la physique sta­tis­tique, et de sujets plus appliqués : les dynamiques urbaines, qu’elles soient démo­graphiques, économiques ou environnementales.

Au sein de l’Institut de physique théorique, cette recherche est une excep­tion, même par­mi les physi­ciens sta­tis­ti­ciens. Le lab­o­ra­toire est davan­tage recon­nu pour sa recherche en physique théorique pure : théorie quan­tique des champs, ther­mo­dy­namique hors équili­bre, cos­molo­gie et physique des particules.

Situation actuelle

Pre­mier engage­ment d’une car­rière admin­is­tra­tive, ma thèse ne s’est pas pour­suiv­ie par des activ­ités de recherche. Une fois soutenue, j’ai rejoint la Direc­tion du bud­get, au Bureau de l’énergie, des par­tic­i­pa­tions, de l’industrie et de l’innovation.

Biographie

Après un doc­tor­at en physique sta­tis­tique, Vin­cent Ver­ba­vatz (X14), ingénieur des ponts, des eaux et des forêts, tra­vaille à la Direc­tion du budget.

Lien : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03783602

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