La modélisation des villes : une approche physique du phénomène urbain

Les villes sur­prennent et inté­ressent la com­mu­nau­té scien­ti­fique depuis long­temps. Alors que jusqu’à main­te­nant la loi de Zipf et le modèle de Gabaix sem­blaient répondre à la ques­tion de l’é­vo­lu­tion démo­gra­phique des villes, une nou­velle thèse, qui essaie d’appliquer les méthodes de phy­sique à celle-ci, rec­ti­fie dans Nature la vision sto­chas­tique qui était admise et montre que la poli­tique d’aménagement du ter­ri­toire a un rôle majeur à jouer en la matière.

Au sein d’une large com­mu­nau­té scien­ti­fique, celle des éco­no­mistes, des socio­logues, des géo­graphes et des his­to­riens, les villes étonnent par leur exis­tence. Cela n’a a prio­ri rien d’évident et tra­duit un inté­rêt des indi­vi­dus à se regrou­per. Les villes sur­prennent aus­si parce qu’elles se res­semblent beau­coup, à tra­vers les époques et les cultures, et ce mal­gré la mul­ti­pli­ci­té des indi­vi­dua­li­tés qui les sous-tendent. Les villes inté­ressent enfin parce qu’elles se déve­loppent au point de regrou­per, depuis peu, la majo­ri­té de la popu­la­tion mon­diale et d’être ain­si incon­tour­nables dans la com­pré­hen­sion des socié­tés modernes. 

Cha­cun sous son micro­scope métho­do­lo­gique ver­ra les villes à la lumière de sa for­ma­tion. Pour l’archéologue, une ville est la trace bru­nie de quelques murs enfouis dans le sable. Pour l’historien, un ensemble de docu­ments concor­dants qui tra­duisent en un lieu et en un temps une plaque d’activité com­mer­ciale ou intel­lec­tuelle par­ti­cu­liè­re­ment intense. Pour l’économiste, c’est un lieu d’échanges, d’innovation, un « mar­ché » où se concré­tise la théo­rie des ren­de­ments crois­sants et des éco­no­mies d’échelle, qui tra­duisent l’intérêt qu’ont à se regrou­per les indi­vi­dus. Pour le géo­graphe, c’est une sur­face par­ti­cu­lière des terres émer­gées, où d’aucuns ont fait le choix de s’installer. 

Les physiciens ont leur mot à dire dans l’étude des phénomènes sociaux

La curio­si­té du phé­no­mène urbain ain­si que les simi­li­tudes empi­riques entre les villes du monde invitent à y recher­cher des causes com­munes, un ensemble res­treint de carac­té­ris­tiques qui devraient, espère-t-on, expli­quer pour­quoi et com­ment les villes se déve­loppent. Si par un heu­reux hasard, dans la com­plexi­té appa­rente des socié­tés humaines, ces carac­té­ris­tiques mini­males et uni­ver­selles pou­vaient aus­si se quan­ti­fier, se réduire à quelques quan­ti­tés numé­riques – popu­la­tion, richesse, sur­face au sol – dont les rela­tions les unes avec les autres seraient simples, il y aurait éga­le­ment cer­tai­ne­ment matière à recherche pour le phy­si­cien. 

C’est en effet indé­nia­ble­ment le tra­vail habi­tuel d’un phy­si­cien de cher­cher, dans la com­plexi­té du monde, de ses inter­ac­tions, de son impré­dic­ti­bi­li­té, à écrire des lois qui se veulent à la fois uni­ver­selles et simples. Cette sim­pli­ci­té uni­ver­selle doit se tra­duire par l’écriture d’équations, qui com­portent le moins pos­sible de para­mètres, de degrés de liber­té. Le phy­si­cien se dif­fé­ren­cie ain­si de l’économiste éco­no­mètre. Der­rière la cor­ré­la­tion, ou la cau­sa­li­té, il cherche à éli­mi­ner l’ajustable. Bien sûr cette approche, comme la phy­sique habi­tuelle, ne peut être qu’empirique. Seules les don­nées urbaines réelles peuvent tran­cher entre la bonne théo­rie et la mauvaise.

Les théo­ries de phy­sique appli­quées aux sys­tèmes sociaux ne doivent donc pas seule­ment être logiques, elles doivent aus­si être cohé­rentes avec les obser­va­tions. Évi­dem­ment, il faut bien le recon­naître, on ne peut qu’admettre qu’il y ait des phé­no­mènes sociaux qui ne se lais­se­ront jamais mettre en équa­tion. Une science des villes quan­ti­ta­tive, phy­sique, n’a pas voca­tion à tout expli­quer ; elle n’y arri­ve­rait jamais. Elle res­te­ra tou­jours l’exception et non la règle. 

Dans ma thèse, j’ai essayé de mon­trer com­ment appli­quer ce rai­son­ne­ment à un sujet pré­cis : les dyna­miques de popu­la­tions urbaines. 

La population permet d’en savoir plus sur de nombreux phénomènes urbains

L’étude de la popu­la­tion est la plus natu­relle et consé­quem­ment la plus ancienne des recherches urbaines. La popu­la­tion est une bonne variable pour mesu­rer l’importance – on pour­rait dire le suc­cès – d’une ville. Elle est d’abord assez facile à mesu­rer – pour­vu qu’on se soit accor­dé sur les fron­tières de la ville – et les recen­se­ments de popu­la­tion urbains sont sou­vent anciens – ils remontent en France au Moyen Âge – et fiables. De plus, il est pos­sible de relier faci­le­ment la popu­la­tion à tout un tas d’autres phé­no­mènes urbains : richesse, crime, inno­va­tion, embou­teillages, déve­lop­pe­ment des trans­ports en com­mun, etc.

Dans de nom­breux cas, la rela­tion entre popu­la­tion et autre variable d’intérêt est linéaire, ou proche de la linéa­ri­té. Lorsque ce n’est pas le cas, on peut faci­le­ment l’approximer par une loi de puis­sance de la forme Y Pβ. Lorsque la valeur de l’exposant β est supé­rieure à 1, on parle de ren­de­ments crois­sants : la variable aug­mente plus vite que la popu­la­tion, il y a un effet d’agglomération. Lorsqu’elle est plus petite que 1, on parle de ren­de­ments décrois­sants : l’accumulation d’habitants freine la variable d’intérêt. 

“La population est une bonne variable pour mesurer l’importance et le succès d’une ville.”

Ces mesures d’exposants ne sont pas for­cé­ment très fiables et res­tent assez débat­tues dans la lit­té­ra­ture. Un fait qui est assez bien éta­bli et que l’on retient sou­vent est que le pro­duit inté­rieur brut est à ren­de­ments crois­sants : un nou­vel habi­tant entraîne une aug­men­ta­tion de pro­duc­tion supé­rieure à la pro­duc­tion moyenne par habi­tant. Mais, sur cette popu­la­tion elle-même, que peut-on dire ? L’économie et la géo­gra­phie ont conver­gé tout au long du XX^e siècle vers deux « lois démo­gra­phiques » urbaines, l’une sta­tique et l’autre dyna­mique. Elles forment le pre­mier cha­pitre de tout cours d’économie urbaine et res­taient, jusqu’à très récem­ment, les deux faits sup­po­sé­ment les plus robustes de la théo­rie urbaine. 

La loi de Zipf décrit la répartition de la population entre les villes d’un pays

La pre­mière de ces lois, sta­tique, a été éta­blie il y a plus d’un siècle par un (déjà) phy­si­cien alle­mand, Felix Auer­bach. Redé­cou­verte plus tard par le lin­guiste amé­ri­cain George Zipf, qui l’a géné­ra­li­sée, elle reste connue sous le nom de loi de Zipf. En clas­sant les plus grandes villes alle­mandes en 1913 par popu­la­tion, Auer­bach obser­va que le pro­duit du rang des villes (la ville la plus peu­plée étant de rang 1) par leur popu­la­tion était à peu près constant. C’est la loi de Zipf, obser­vée dans la plu­part des pays à dif­fé­rentes époques. C’est un résul­tat sta­tique, d’équilibre, dans un sys­tème de villes. 

Ce résul­tat carac­té­rise l’organisation hié­rar­chique des villes et, en par­ti­cu­lier, il quan­ti­fie l’occurrence sta­tis­tique des grandes villes. La loi de Zipf énonce que, dans tout pays, la ville la plus peu­plée est géné­ra­le­ment deux fois plus grande que la sui­vante, et ain­si de suite. Il s’agit d’une signa­ture de la très grande hété­ro­gé­néi­té de la taille des villes et montre que les villes ne sont pas gou­ver­nées par des consi­dé­ra­tions opti­males qui condui­raient à une taille unique mais, au contraire, que les tailles des villes sont lar­ge­ment dis­tri­buées et suivent une sorte de hié­rar­chie. 

Le modèle de Gabaix décrit l’évolution de la population d’une ville

La seconde de ces lois, dyna­mique, cherche à carac­té­ri­ser l’évolution de la popu­la­tion d’une ville au cours du temps. Évi­dem­ment, cette évo­lu­tion est mul­ti­fac­to­rielle, extrê­me­ment com­plexe, et per­sonne ne sau­rait pré­dire avec cer­ti­tude si une ville va connaître une forte crois­sance démo­gra­phique ou non. Pour­quoi le petit oppi­dum gau­lois de Lutèce est-il deve­nu la grande métro­pole qu’est Paris aujourd’hui, alors qu’à quelques cen­taines de kilo­mètres de là, Autun, fon­dée par Auguste comme « sœur et émule de Rome », n’a pas dépas­sé les 20 000 habi­tants pen­dant 2 000 ans ? 

Pour décrire l’évolution démo­gra­phique des villes – et inci­dem­ment pour mon­trer que la dis­tri­bu­tion de popu­la­tion d’un sys­tème de villes au cours du temps doit conver­ger vers la loi de Zipf – les éco­no­mistes et géo­graphes ont donc cher­ché à écrire une équa­tion dyna­mique qui repro­dui­sît sta­tis­ti­que­ment la hié­rar­chie des villes. L’économiste fran­çais Xavier Gabaix a syn­thé­ti­sé à la fin des années 90 l’essentiel de cette recherche « sto­chas­tique » dans un modèle pilier de l’économie urbaine, le modèle de Gabaix.

“Le modèle de Gabaix montre que les villes d’aujourd’hui sont la résultante d’un très grand nombre d’événements particuliers et aléatoires, qui ont fait émerger certaines villes tandis que d’autres disparaissaient.”

Le modèle de Gabaix montre que les villes d’aujourd’hui sont la résul­tante d’un très grand nombre d’événements par­ti­cu­liers et aléa­toires, qui ont fait émer­ger cer­taines villes tan­dis que d’autres dis­pa­rais­saient. Sous l’accumulation de « petits chocs » aléa­toires, le modèle de Gabaix montre que la dis­tri­bu­tion des popu­la­tions d’un sys­tème de ville converge vers la loi de Zipf, qui est essen­tiel­le­ment la consé­quence natu­relle du hasard des nais­sances et des migra­tions. 

D’une cer­taine façon, on peut inter­pré­ter le modèle de Gabaix comme un modèle du lais­sez-faire : les villes se répar­tissent spon­ta­né­ment vers une hié­rar­chie inéga­li­taire du fait des petits chocs indé­pen­dants qu’elles subissent au cours de leur vie. Le modèle de Gabaix offre ain­si à la fois une cause et une inter­pré­ta­tion à la loi de Zipf, tout en expli­quant com­ment la popu­la­tion d’une ville évo­lue, au moins sta­tis­ti­que­ment, au cours du temps. 

Les limites de la loi de Zipf et du modèle de Gabaix

Le modèle de Gabaix et la loi de Zipf ont pour­tant un pro­blème. Ils ont été empi­ri­que­ment remis en cause aus­si vite que les pos­si­bi­li­tés de mesures, dans le temps et dans l’espace, se sont accrues. Dans beau­coup de pays, la mesure de la loi de Zipf, dont par ailleurs on montre qu’elle peut faci­le­ment être « vue » par erreur, dépend de l’année, de la méthode de mesure, du nombre de villes que l’on regarde, etc. En d’autres termes, dans la plu­part des cas, la loi de Zipf dépend davan­tage de la façon de la mesu­rer que d’autre chose et, en règle géné­rale, on ne peut pas croire qu’elle tienne. La répar­ti­tion des popu­la­tions urbaines est ain­si beau­coup plus com­plexe que ce que l’on pen­sait jusqu’à main­te­nant et peut varier dans le temps. 

De plus, les petits chocs du modèle de Gabaix ne per­mettent pas de rendre compte des grands chocs urbains his­to­riques, par les­quels des villes peuvent appa­raître ou dis­pa­raître en quelques mois : ruée vers l’or, épi­dé­mies majeures, villes nou­velles, guerres, etc. Si la dis­tri­bu­tion des villes est bien le résul­tat du hasard, encore faut-il savoir de quel hasard on parle : celui qui s’accumule tous les jours ou celui qui en très peu de temps bou­le­verse le pay­sage urbain. 

Une nouvelle méthode pour modéliser l’évolution démographique

La meilleure façon de com­prendre com­ment les villes réagissent aux chocs qui influent sur leur évo­lu­tion démo­gra­phique est donc encore de repar­tir de zéro, de la mesure réelle de la crois­sance urbaine. En ana­ly­sant les don­nées démo­gra­phiques et migra­toires de plu­sieurs pays et sur plu­sieurs périodes, nous avons pu quan­ti­fier les dif­fé­rentes contri­bu­tions à l’évolution de la popu­la­tion urbaine : le solde démo­gra­phique (nais­sances et décès), les migra­tions inter­na­tio­nales et les migra­tions inter­ur­baines (dépla­ce­ments d’une ville à une autre au sein d’un même pays). À par­tir de ces résul­tats, nous avons écrit une nou­velle équa­tion qui décrit l’évolution tem­po­relle des popu­la­tions urbaines dans un pays.

De loin la démarche n’est pas très éloi­gnée du modèle pré­cé­dent : construire une équa­tion sto­chas­tique de l’évolution de la popu­la­tion d’une ville. Mais, en s’intéressant pré­ci­sé­ment à la forme empi­rique du bruit, c’est-à-dire aux chocs qui influent sur la vie des villes, nous pro­cé­dons d’une démarche typique de la phy­sique sta­tis­tique : nous cher­chons à com­prendre si de petits chan­ge­ments quan­ti­ta­tifs locaux peuvent entraî­ner de grands chan­ge­ments qua­li­ta­tifs glo­baux. Et, dans les faits, c’est ce que nous avons obser­vé. 

La mesure exacte de la forme que prennent les chocs migra­toires dans les villes montre que les popu­la­tions des villes sont davan­tage modi­fiées par de gros pics migra­toires (posi­tifs ou néga­tifs) que par une petite accu­mu­la­tion de chan­ge­ments. Ces chocs sont rares mais suf­fi­sam­ment impor­tants pour chan­ger le des­tin des villes, les faire émer­ger ou dis­pa­raître. Par exemple, pen­dant la ruée vers l’or, la popu­la­tion de San Fran­cis­co est pas­sée d’un peu plus de 1 000 à 150 000 habi­tants entre 1850 et 1870. Plus près de nous, la popu­la­tion du Creu­sot a plus que décu­plé entre 1831 et 1856 grâce à l’im­plan­ta­tion de la famille Schnei­der. 

Une loi aux conséquences importantes sur le destin des villes

Nos tra­vaux, récem­ment publiés dans la revue Nature (https://www.nature.com/articles/s41586-020‑2900‑x), offrent ain­si une nou­velle pers­pec­tive sur le sort des villes. Ce ne sont pas les petits mais les grands évé­ne­ments qui déter­minent la démo­gra­phie urbaine et le sort des villes d’un pays. En par­ti­cu­lier, ce sont les vagues occa­sion­nelles mais impor­tantes de migra­tion urbaine qui expliquent pour­quoi cer­taines villes émergent et d’autres dis­pa­raissent. Au fond, cette équa­tion est por­teuse d’un mes­sage opti­miste : elle montre que le des­tin d’une ville n’est pas figé et ne dépend pas uni­que­ment de sa démographie.

Le suc­cès des villes s’explique davan­tage par des chocs externes, éven­tuel­le­ment induits et contrô­lables, que par l’accumulation d’effets stric­te­ment aléa­toires et fatals. Les déci­sions en matière de poli­tique urbaine et d’aménagement du ter­ri­toire ont donc un rôle majeur à jouer dans le ren­for­ce­ment de l’attractivité d’une ville et peuvent com­plè­te­ment chan­ger sa dyna­mique de déve­lop­pe­ment et son his­toire future. 

Informations sur la thèse

Cette thèse a été pris en charge dans le cadre de la for­ma­tion doc­to­rale des ingé­nieurs des ponts, des eaux et des forêts. Chaque année, une dizaine de jeunes ingé­nieurs a la pos­si­bi­li­té de com­men­cer sa car­rière publique par un pre­mier poste « doc­to­ral », sous la forme de trois ans de thèse sur un sujet proche des domaines d’intervention habi­tuels des ingé­nieurs des ponts, des eaux et des forêts.

Après une for­ma­tion de phy­sique très théo­rique en mas­ter, il n’était pas évident de trou­ver un sujet de recherche qui croi­sât mes com­pé­tences aca­dé­miques et l’activité d’un futur fonc­tion­naire. Néan­moins, la ten­dance par laquelle, depuis les années 1980, la phy­sique sta­tis­tique, habi­tuée à décrire et expli­quer des sys­tèmes com­plexes, a essai­mé en-dehors de la phy­sique tra­di­tion­nelle, notam­ment vers les sciences sociales, a per­mis de résoudre cette appa­rente incompatibilité.

Mon direc­teur de thèse, Marc Bar­the­le­my, phy­si­cien pas­sé de la phy­sique aux réseaux et des réseaux aux modé­li­sa­tions urbaines, offrait l’une de ces quelques options d’ouverture aca­dé­mique qui m’ont per­mis de récon­ci­lier for­ma­tion pas­sée et car­rière future. Cette thèse, de « Modé­li­sa­tion des sys­tèmes urbains », sou­te­nue à Paris le 7 juillet 2022 devant un jury néces­sai­re­ment plu­ri­dis­ci­pli­naire, et d’ailleurs pré­si­dée par Denise Pumain, mère de la géo­gra­phie quan­ti­ta­tive en France, a ten­té de témoi­gner qu’il était tou­te­fois pos­sible de faire des sciences en mêlant plu­sieurs disciplines.

Information sur le laboratoire

Conduite à l’Institut de phy­sique théo­rique, labo­ra­toire de recherche fon­da­men­tale situé sur le pla­teau de Saclay, rat­ta­ché à la Direc­tion de la Recherche Fon­da­men­tale (DRF) du CEA et asso­cié à l’U­ni­ver­si­té Paris-Saclay, ma thèse se trouve à l’intersection d’une recherche très fon­da­men­tale et théo­rique, la phy­sique sta­tis­tique, et de sujets plus appli­qués : les dyna­miques urbaines, qu’elles soient démo­gra­phiques, éco­no­miques ou environnementales.

Au sein de l’Institut de phy­sique théo­rique, cette recherche est une excep­tion, même par­mi les phy­si­ciens sta­tis­ti­ciens. Le labo­ra­toire est davan­tage recon­nu pour sa recherche en phy­sique théo­rique pure : théo­rie quan­tique des champs, ther­mo­dy­na­mique hors équi­libre, cos­mo­lo­gie et phy­sique des particules.

Situation actuelle

Pre­mier enga­ge­ment d’une car­rière admi­nis­tra­tive, ma thèse ne s’est pas pour­sui­vie par des acti­vi­tés de recherche. Une fois sou­te­nue, j’ai rejoint la Direc­tion du bud­get, au Bureau de l’énergie, des par­ti­ci­pa­tions, de l’industrie et de l’innovation.

Biographie

Après un doc­to­rat en phy­sique sta­tis­tique, Vincent Ver­ba­vatz (X14), ingé­nieur des ponts, des eaux et des forêts, tra­vaille à la Direc­tion du budget.

Lien : https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03783602

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