La loi des grands nombres en assurance : ni nécessaire ni suffisante

L’assureur vend des promess­es, et fait appel pour cela à une mul­ti­plic­ité de tech­niques. Le chef d’en­tre­prise (comme le con­trôleur des assur­ances) doit donc com­pren­dre à la fois :

• le 2 + 2 = ” 4,00 ” des comptables,
• le 2 + 2 = ” com­bi­en voulez-vous que cela fasse ” des actuaires,
• le 2 + 2 = ” 3,999999999 ” des informaticiens,
• et le II + II = IV des juristes.

Le résul­tat de l’as­sureur est aléa­toire : il espère faire un béné­fice mais peut aus­si faire une perte.

Pour éviter, à défaut d’une perte, du moins une perte qui le ” ruine “, il se repose sur une loi de la sta­tis­tique qui s’ap­pelle la loi des grands nombres.

Les engagements réciproques de l’assuré et de l’assureur constituent le contrat d’assurance

Prenons trois exem­ples sim­ples aus­si var­iés que pos­si­ble : A, agricul­teur, court le risque de voir sa récolte détru­ite par la grêle ; C, chas­seur, court le risque de bless­er un promeneur ; D, père de famille, court le risque de décéder avant que ses enfants ne soient en âge de gag­n­er leur vie.

En cas de réal­i­sa­tion du risque, A ne pour­ra pas assumer finan­cière­ment la perte d’une année de revenu, C le rem­bourse­ment des frais de soins du promeneur et l’épouse de D la charge de plusieurs années d’é­d­u­ca­tion, d’al­i­men­ta­tion, d’ha­bille­ment, de ses enfants. Dans cha­cun de ces trois exem­ples, ces hommes sont con­fron­tés à un risque et déci­dent de s’assurer.

Exposé à un risque,

• l’as­suré paie à l’as­sureur une prime,
• l’as­sureur garan­tit que, si le risque se réalise, il paiera un sinistre.

Cet engage­ment réciproque (paiement de la prime con­v­enue con­tre paiement, le cas échéant, de sin­istres garan­tis) con­stitue le con­trat d’as­sur­ance. Les deux par­ties au con­trat ignorent donc si l’as­sureur aura un quel­conque paiement à effectuer au prof­it de l’as­suré. C’est en ce sens que le con­trat d’as­sur­ance est un con­trat aléatoire.

Le sché­ma précé­dent est-il vrai ? Oui, il est vrai, aus­si vrai que la phrase ” les oiseaux volent “, aus­si vrai mais pas plus : tout le monde admet que la phrase ” les oiseaux volent ” est vraie, tout en sachant que l’autruche (qui est un oiseau) vole mal.

Le sché­ma général précé­dent appelle donc de nom­breuses nuances et pré­cau­tions de vocab­u­laire pour être juridique­ment exact, il y a par­fois lieu de dis­tinguer, dans un con­trat d’as­sur­ance, l’assuré qui court le risque, le souscrip­teur qui signe le con­trat, le béné­fi­ci­aire qui perçoit, le cas échéant, la presta­tion de l’as­sureur : l’as­sur­ance de D peut avoir été souscrite par son employeur et com­porter son con­joint comme béné­fi­ci­aire… Dans le même ordre d’idées, dans les assur­ances où l’événe­ment qui déclenche la presta­tion est la survie de l’as­suré ou la nais­sance d’un enfant, il ne serait pas très com­mer­cial de par­ler de sin­istre…

Mais comme notre pro­pos n’est pas de faire du droit ni du com­merce, nous n’irons pas plus loin sur ce terrain.

Un risque mal diver­si­fi­able par les assureurs français : la tem­pête. © ALAIN TOSETTI

C’est la loi des grands nombres qui permet la compensation des risques

Réduite à un seul con­trat avec un seul assuré, l’opéra­tion précédem­ment décrite serait un pari pour l’as­sureur. En effet, si le risque ne se réalise pas, l’as­sureur fait un petit béné­fice (la prime). Dans le cas con­traire, si le risque s’est réal­isé, il peut faire une perte impor­tante. Il suf­fit de penser à l’as­suré qui ayant calé à un pas­sage à niveau avait fait dérailler un train, soit quelques mil­lions de francs de dégâts à la charge de son assureur : pour pou­voir pay­er ces dégâts, ce dernier avait évidem­ment reçu les primes d’un grand nom­bre d’autres assurés !

Pour que chaque opéra­tion d’as­sur­ance ne soit pas un pari dont la perte entraîne sa fail­lite, l’as­sureur doit avoir réu­ni un grand nom­bre d’as­surés : ex ante, l’as­sureur envis­age de pay­er, avec les primes reçues de tous, les sin­istres qui frap­per­ont les malchanceux.

La mutu­al­i­sa­tion des risques n’est pos­si­ble que s’il n’y a pas un trop grand écart entre le nom­bre de malchanceux réels et ceux qu’il avait prévus. C’est la loi des grands nom­bres qui per­met à l’as­sureur de s’en­gager à vers­er la somme aléa­toire S des sin­istres en ayant reçu la somme P (où P = n . π si cha­cun des n assurés paye la même prime π).

L’as­sureur ne s’en­gage pas seule­ment à pay­er les sin­istres, mais aus­si à les gér­er : la prime payée par l’as­suré com­prend des charge­ments de ges­tion (et aus­si des charge­ments de sécu­rité per­me­t­tant à l’as­sureur d’e­spér­er un bénéfice).

La loi des grands nom­bres dit en effet que, sous cer­taines con­di­tions, le mon­tant aléa­toire S est ” proche ” du nom­bre cer­tain P = n . π (si n est ” assez ” grand), et que ce mon­tant peut être d’au­tant mieux prévu que le nom­bre d’as­surés n est plus grand.

Prenons un exem­ple : un con­trat d’as­sur­ance qui garan­tit le verse­ment d’un cap­i­tal de 100 000 F en cas de décès, souscrit par 10 000 assurés qui ont cha­cun une prob­a­bil­ité 1 % de décéder dans l’année.

Le cal­cul des prob­a­bil­ités nous dit que l’e­spérance math­é­ma­tique du nom­bre aléa­toire D de décès qui auront lieu dans l’an­née qui vient est de 1 %. 10 000 = 100, ce qui peut paraître évi­dent. Il est évi­dent aus­si que le nom­bre de décès d qui aura réelle­ment lieu ne sera pas égal à 100 sauf mir­a­cle : il y aura un écart entre d et D. L’é­cart ” type ” encore appelé dévi­a­tion ” stan­dard ” entre d et D est, nous dit la théorie, d’en­v­i­ron 10 (très exacte­ment 9,95), et il y a une qua­si-cer­ti­tude (99,9 % de chances) que le nom­bre de décès réel sera égal à 100 à 3,3 écarts types près soit à 33 % près.

Si l’as­sureur a fait souscrire 1 000 000 d’as­surés, les mêmes for­mules con­duisent à dire qu’il y a une qua­si-cer­ti­tude que le nom­bre de décès sera com­pris entre 9 672 et 10 328 morts, donc que D sera égal à 10 000 à 3,3 % près.

Si l’as­sureur a encais­sé 1 000 000 de primes de 1 000 francs, donc 1 000 MF, il peut avoir une qua­si-cer­ti­tude de pay­er 1 000 MF à 33 MF près, c’est-à-dire à peu de choses près.

La loi des grands nombres ne suffit pas à caractériser l’assurance : il faut ajouter qu’elle fonctionne en capitalisation

L’as­sur­ance ayant un rôle (répon­dre au besoin de sécu­rité des ménages), il est intéres­sant de quan­ti­fi­er son impor­tance dans l’é­conomie française.

L’assurance représente-t-elle 1 %, un dixième ou un tiers du PIB français ?

La réponse n’est pas aus­si immé­di­ate qu’il y paraît : on peut en effet soutenir que cha­cun des trois nom­bres précé­dents con­stitue la meilleure réponse.

Com­mençons par le sec­ond nom­bre, qui est la réponse la plus fréquem­ment citée. L’as­sur­ance ne représente-t-elle pas 10 % du PIB français ? En 1996, le chiffre d’af­faires (primes ou coti­sa­tions) des sociétés d’as­sur­ance, 770 GF, ne représente-t-il pas env­i­ron 10 % des 7 861 GF de PIB ?

Mais on peut objecter que le chiffre d’af­faires des sociétés d’as­sur­ance ne ” con­stitue ” pas env­i­ron 10 % du PIB, que c’est la valeur ajoutée par l’as­sur­ance qui est une part du PIB, et qu’elle en con­stitue env­i­ron 1 % (0,8 %) : à l’ap­pui de ce point de vue, on peut observ­er que l’as­sur­ance emploie env­i­ron 200 000 per­son­nes en France, soit 1 Français sur 100 et non 1 sur 10.

Deux­ième sorte d’ob­jec­tion à la réponse 10 % : la Sécu­rité sociale (san­té, acci­dents du tra­vail, retraite) ne répond-elle pas comme l’as­sur­ance au besoin de sécu­rité des ménages ? Les rôles de l’une et de l’autre sont-ils si dif­férents ? Ain­si, lors de la créa­tion de la Sécu­rité sociale en 1947, les acci­dents du tra­vail qui lui ont été trans­férés représen­taient le tiers du chiffre d’af­faires des sociétés d’as­sur­ance. De même, l’as­sur­ance vie occupe une place plus impor­tante dans les pays anglo-sax­ons, car les régimes de retraite y sont moins com­plets. Et si l’on tient compte des presta­tions, on obtient un chiffre d’af­faires total, assur­ance et Sécu­rité sociale réu­nies, qui équiv­aut à (env­i­ron) un tiers du PIB.

Mais si assur­ance et Sécu­rité sociale ont un rôle ana­logue, elles n’ont pas le même mode de fonctionnement.

L’as­sur­ance fonc­tionne en cap­i­tal­i­sa­tion. La Sécu­rité sociale fonc­tionne en répar­ti­tion.

Dans un fonc­tion­nement en répar­ti­tion, les primes reçues dans l’an­née, voire le mois, ser­vent à pay­er les sin­istres devant être payés dans l’an­née, voire le mois, même si ces sin­istres se rap­por­tent à des péri­odes de garanties antérieures. Pour pay­er les sin­istres l’an­née d’après, l’or­gan­isme aura besoin de nou­velles primes.

Dans un fonc­tion­nement en cap­i­tal­i­sa­tion, les primes reçues au cours d’un exer­ci­ce don­né servi­ront à pay­er les sin­istres sur­venus au cours du même exer­ci­ce. Le paiement des sin­istres peut dif­fér­er de quelques années de l’en­caisse­ment des primes.

Sans entr­er dans la com­para­i­son des avan­tages et incon­vénients respec­tifs des deux modes d’opér­er, réécrivons donc le sché­ma général de l’as­sur­ance en ten­ant compte de son fonc­tion­nement en capitalisation :

Il existe en fait tra­di­tion­nelle­ment deux mod­éli­sa­tions de l’as­sur­ance en fonc­tion de la com­plex­ité de la prise en compte du temps. Ces deux mod­éli­sa­tions dif­férentes définis­sent deux actu­ar­i­ats dif­férents : un actu­ar­i­at à court terme util­isé en assur­ance non-vie et un actu­ar­i­at à long terme, util­isé en assur­ance vie.

Cette tra­di­tion provient du fait que l’é­cart tem­porel entre les primes et les presta­tions d’un con­trat est glob­ale­ment plus con­sid­érable en assur­ance vie qu’en assur­ance non-vie. Ceci peut se con­stater sur les comptes de l’ensem­ble des sociétés : il s’é­coule un an et demi en moyenne en non-vie entre l’en­caisse­ment de la prime et le décaisse­ment de la presta­tion, et cinq à huit ans en vie³.

Une autre dif­férence existe entre les deux actu­ar­i­ats : l’aléa a une place beau­coup moins impor­tante en vie qu’en non-vie.

La rai­son en est qu’en vie le verse­ment de la presta­tion dépend le plus sou­vent de la survie de l’as­suré, événe­ment qui a une forte prob­a­bil­ité : sur 10 000 assurés dont une cen­taine vont mourir dans l’an­née, quelques dizaines de décès de plus ou de moins sont un aléa nég­lige­able pour l’as­sureur en cas de survie qui s’at­tend à pay­er (env­i­ron) 9 900 presta­tions, et au con­traire un aléa impor­tant pour l’as­sureur en cas de décès qui s’at­tend à pay­er (env­i­ron) 100 sinistres.

Le lecteur atten­tif, s’il est juriste, s’é­ton­nera peut-être de nous voir pren­dre l’as­sur­ance décès comme exem­ple d’as­sur­ance non-vie. Mais le lecteur hâtif ou sans cul­ture juridique nous par­don­nera aisé­ment cette assim­i­la­tion audacieuse.

Il n’est pas nécessaire à l’assureur de pouvoir appliquer la loi des grands nombres lui-même : il peut se réassurer

La loi des grands nom­bres, val­able pour des risques iden­tiques et indépen­dants, s’é­tend aux risques qui à défaut d’être iden­tiques sont homogènes, et à défaut d’être indépen­dants ne sont pas trop dépendants.

Mais si notre assureur A assure 10 000 assurés pour 100 000 F et se voit pro­pos­er un assuré sup­plé­men­taire dont la garantie est de 100 MF, il n’est plus vrai qu’il puisse prévoir sa charge sin­istre à 33 % près : sa charge de sin­istres est dev­enue de l’or­dre soit de 10 MF, soit de 110 MF selon que cet assuré sup­plé­men­taire survit ou décède.

Si les risques assurés ne sont pas suff­isam­ment nom­breux, homogènes et indépen­dants pour que l’as­sureur puisse prévoir cor­recte­ment la somme des sin­istres, en bref, si la loi des grands nom­bres ne peut pas s’ap­pli­quer, l’as­sureur ne refuse pas de souscrire le risque (et ne refuse pas pour autant la prime) ; sim­ple­ment, il lui faut se réassurer.

De même, si les assurés, loin de men­er leur vie indépen­dam­ment l’un de l’autre, font fréquem­ment des voy­ages en avion par groupes, la charge des sin­istres devient de l’or­dre soit de 10 MF soit de l’or­dre de 15 MF (voire de l’or­dre de 20) selon que l’on sup­pose que tous les voy­ages ont été couron­nés de suc­cès ou qu’au con­traire un avion de 500 assurés s’est écrasé (voire que deux avions se sont écrasés).

Les tem­pêtes de décem­bre 1999 ont mon­tré que le marché sup­por­t­ait bien le retour d’un risque qual­i­fié de ” cen­te­naire ” quelques années seule­ment après son précé­dent passage.

La loi des grands nombres concerne très imparfaitement les actifs gérés

La diver­si­fi­ca­tion de ces place­ments est une notion essen­tielle de la régle­men­ta­tion rel­a­tive à la solv­abil­ité : il lui est demandé de ne pas ” met­tre tous ses œufs dans le même panier “, de faire en sorte que la fail­lite d’une entre­prise ou l’écroule­ment d’un immeu­ble ne lui coûte pas plus de 5 à 10 % de l’ar­gent des assurés.

La tech­nique de cap­i­tal­i­sa­tion qu’il utilise fait de l’as­sureur un ” investis­seur insti­tu­tion­nel ” : parce qu’il encaisse les primes avant (par­fois longtemps avant) d’avoir à décaiss­er les sin­istres, l’as­sureur dis­pose de sommes impor­tantes qu’il place.

Mais le risque de marché résidu­el n’est pas pour autant jus­ti­cia­ble de la loi des grands nom­bres : il n’est pas vrai qu’en mul­ti­pli­ant le nom­bre d’as­surés et donc le mon­tant de ses place­ments par 100, l’é­cart type du résul­tat de l’as­sureur ne soit mul­ti­plié que par 10 : les krachs immo­biliers ou bour­siers affectent l’ensem­ble des actifs.

La loi des grands nombres ne suffit pas à éviter la ruine

Revenons aux 10 000 assurés, risques iden­tiques et indépen­dants, tar­ifés sur la base d’une prob­a­bil­ité 1 % de décéder dans l’an­née, pour lesquels A a une qua­si-cer­ti­tude (99,9 % de chances) d’avoir à pay­er 10 MF à 33 % près.

Si la prob­a­bil­ité de 1 % a été estimée avec pré­ci­sion, mais sur une pop­u­la­tion dif­férente de celle assurée, et si les assurés ont en réal­ité une prob­a­bil­ité de décéder égale à 2 %, l’as­sureur qui s’at­tendait à pay­er env­i­ron 10 MF devra évidem­ment pay­er le double !

Épilogue

Deux prob­lèmes actu­ar­iels se posent à l’as­sureur ex ante (à la souscrip­tion d’un ensem­ble de contrats) :

1) En sup­posant qu’il ait tar­ifé par­faite­ment les risques qu’il assure, son résul­tat est aléa­toire ; que peut-on dire de cet aléa ?
2) Mais le tarif repose sur des esti­ma­tions : que peut-on dire de l’in­cer­ti­tude découlant de ces estimations ?

Un prob­lème sup­plé­men­taire se pose ex post (à l’is­sue de l’an­née d’as­sur­ance) : que déduire du résul­tat compt­abil­isé ? En par­ti­c­uli­er con­vient-il de remet­tre en cause le tarif pra­tiqué ? Ces prob­lèmes et ces cal­culs sur le risque de ruine de l’as­sureur doivent en effet être placés dans le cadre compt­able et régle­men­taire qui traite de ce que l’ac­tu­ar­i­at appelle la ruine et la régle­men­ta­tion l’insolvabilité.

Dans le pre­mier prob­lème l’as­sureur prévoit d’au­tant mieux son résul­tat (relatif) qu’il a plus d’as­surés, puisque s’il mul­ti­plie son nom­bre d’as­surés par 100 l’é­cart type de son résul­tat n’est mul­ti­plié que par 10, à cer­taines con­di­tions tout au moins.

Dans le sec­ond prob­lème au con­traire, s’il mul­ti­plie son nom­bre d’as­surés par 100 l’im­pact de son erreur de tarif est mul­ti­plié par 100.

Faire des cal­culs d’as­sur­ances en se dis­pen­sant de con­naître ce cadre revient à jouer au bridge sans savoir com­ment on compte les points.

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1. Adap­té de l’ou­vrage Assur­ance : compt­abil­ité, régle­men­ta­tion, actu­ar­i­at, A. Toset­ti, T. Béhar, M. Fro­menteau, S. Ménart. (Eco­nom­i­ca, 2000).
2. Celle-ci dit qu’en mul­ti­pli­ant le nom­bre d’as­surés par n, l’é­cart type du résul­tat est, dans cer­taines con­di­tions, mul­ti­plié par ÷n . C’est parce qu’ils sont cen­sés com­pren­dre ce que veut dire la phrase précé­dente que tant de poly­tech­ni­ciens sont recrutés en assurance.
3. Les pro­vi­sions tech­niques représen­tent 1,5 fois les primes en non-vie et 5 fois en vie.

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