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Probabilité de ruine ou value at risk… et vol Paris-Nice

Dossier
Dossier : Mathématiques et entreprisesMagazine N°577 Septembre 2002Par Alain TOSETTI (64)

L’apti­tude de l’as­su­reur à payer ce qu’il a garan­ti de payer est si fon­da­men­tale que son contraire, la » ruine » de » l’as­su­reur « , est au centre de la théo­rie mathé­ma­tique de l’as­su­rance. Cette théo­rie gra­vite autour de la » pro­ba­bi­li­té » de la ruine pré­ci­tée et indique com­ment rendre cette pro­ba­bi­li­té très petite par un tarif et une réas­su­rance adap­tés : dimi­nuer la pro­ba­bi­li­té de ruine y pilote les déci­sions de l’assureur.

La » ruine » de l’ac­tua­riat est entraî­née par une perte qui dépasse les fonds propres et rend l’as­su­reur » insol­vable » au sens de la régle­men­ta­tion ; cette » insol­va­bi­li­té » dif­fère nota­ble­ment de la » ces­sa­tion de paie­ment » qui pré­oc­cupe les entre­prises ordi­naires ; en effet l’as­su­reur qui perd de l’argent, parce qu’il paye les sinistres et pres­ta­tions long­temps après avoir encais­sé les primes (en moyenne deux ans après en assu­rances non-vie), sera insol­vable long­temps avant d’être en ces­sa­tion de paiement.

Remar­quons que ce qui pré­cède concerne sur­tout les assu­rances qui s’ap­pe­laient jadis les assu­rances » dom­mages » ou » acci­dents » et qui s’ap­pellent désor­mais les assu­rances » non-vie » par oppo­si­tion aux assu­rances qui s’ap­pe­laient et s’ap­pellent encore » assu­rances vie « .

L’as­su­rance vie, du moins l’as­su­rance vie à carac­tère d’é­pargne (c’est-à-dire en cas de sur­vie) pré­sente d’autres pro­blèmes et relève d’une autre modé­li­sa­tion. L’as­su­rance vie » en cas de décès » relève en revanche de notre pro­pos : mais nul ne s’é­ton­ne­ra, sauf les juristes, de nous voir assi­mi­ler décès et non-vie !

Il est vrai que la pro­ba­bi­li­té de ruine de la théo­rie de l’as­su­rance (ou son équi­valent la » value at risk » en pro­ve­nance du monde ban­caire) est le point cen­tral de la théo­rie du risque… si le théo­rème de la limite cen­trale s’ap­plique. Si ce n’est pas le cas, la pro­ba­bi­li­té de ruine peut induire en erreur.

Le théo­rème de la limite cen­trale dit que la loi de la moyenne d’un grand nombre de variables aléa­toires de même loi tend vers une loi nor­male, si les variables sont indé­pen­dantes et si leur loi pos­sède des moments des deux pre­miers ordres. Il s’é­tend au cas où les variables, sans être indé­pen­dantes ni avoir même loi, sont rela­tives à des risques ni » trop dépen­dants » ni » trop hétérogènes « .

Nous allons illus­trer métho­di­que­ment les deux idées qui pré­cèdent, en pre­nant un exemple où la pro­ba­bi­li­té de ruine de l’as­su­reur est une bonne infor­ma­tion, puis un contre-exemple où elle ne l’est pas.

Une faible probabilité de ruine de l’assureur

Consi­dé­ré ex ante, le résul­tat R de l’as­su­reur est aléa­toire (au sens juri­dique comme au sens du cal­cul des pro­ba­bi­li­tés) : si ses fonds propres sont FP, la pro­ba­bi­li­té de ruine est par défi­ni­tion : pro­ba­bi­li­té de ruine = P(R < -FP).

Cette notion suf­fit si les risques sont suf­fi­sam­ment » nom­breux, homo­gènes, indé­pen­dants » : alors le résul­tat suit une loi nor­male et nous avons le sen­ti­ment, même sans cal­culs, qu’une ruine consi­dé­rable est exclue.

Pre­nons un assu­reur qui a garan­ti 1 mil­lion d’eu­ros en cas de décès dans l’an­née qui vient à cha­cun de ses 100 000 assu­rés, dont cha­cun a 1 % de » chance » (ou plu­tôt une pro­ba­bi­li­té de 1 %) de décé­der dans l’année.

Sup­po­sons que les primes (dimi­nuées des frais de ges­tion et majo­rées par les pro­duits finan­ciers) lui per­mettent de faire face à 1 020 décès, et que les fonds propres soient de 100 mil­lions d’eu­ros, qu’il puisse donc faire face à 1 120 décès, le 1 121e le rui­nant. Le cal­cul basé sur la loi des grands nombres et le théo­rème cen­tral limite montrent que ce 1 121e décès ne sur­vien­dra pas sou­vent, du moins sous les hypo­thèses usuelles et intui­tives : si les décès des assu­rés sont » indé­pen­dants » (ce qui exclut que les assu­rés soient nom­breux à tra­vailler dans le même quar­tier ou la même usine…), si l’as­su­reur ne s’est pas trom­pé dans son tarif (c’est-à-dire si chaque assu­ré a bien 1 % de chances de décé­der et pas plus)…

En effet, ce cal­cul indique que, dans ces condi­tions, la ruine de l’as­su­reur cor­res­pon­dant au 1 121e décès (la perte dépas­sant les 100 mil­lions de fonds propres) sur­vien­dra moins d’une fois sur 10 000.

On se dis­pense usuel­le­ment d’al­ler plus loin dans le rai­son­ne­ment, car l’in­tui­tion indique que si le nombre de décès dépasse 1 120 (si la perte dépasse les 100 mil­lions de fonds propres), ce ne sera pas de beau­coup : et le cal­cul confirme en effet dans ce cas, l’es­pé­rance du nombre de décès est de 1 128, et la perte de 108. En moyenne lorsque la faillite se pro­duit il ne manque » que » 8 mil­lions à l’as­su­reur qui est tenu de payer 1 128 mil­lions de sinistres.

Un contre-exemple

Pre­nons un exemple extrê­me­ment dif­fé­rent, confor­mé­ment au titre de cet article. Avant de prendre l’a­vion pour aller de Paris à Nice, je décide de deve­nir assu­reur et de garan­tir, à cha­cun des 400 autres pas­sa­gers, moyen­nant une prime de 10 euros par tête, un capi­tal de 10 mil­lions d’eu­ros en cas de décès par crash de l’a­vion, évé­ne­ment qui a une chance sur un mil­lion de se pro­duire. Mon résul­tat sera alors :

  • presque cer­tai­ne­ment (sauf une fois sur un mil­lion !), un béné­fice de 4 000 euros finan­çant cor­rec­te­ment mon voyage ;
  • extrê­me­ment rare­ment (une fois sur un mil­lion !), une perte, une perte qui d’ailleurs me ruine, ce dont pro­ba­ble­ment je n’au­rai cure ayant par hypo­thèse pris l’avion.


Bien que ma pro­ba­bi­li­té de ruine soit négli­geable et beau­coup plus petite que celle de maints assu­reurs dont le pré­cé­dent, je ne suis pas un assu­reur mais un escroc : je n’ai à aucun moment eu la pos­si­bi­li­té de payer le sinistre de 400 fois 10 mil­lions d’eu­ros que je garantis !

La pro­ba­bi­li­té de ruine doit ici être accom­pa­gnée d’une mesure de la gran­deur de la ruine pos­sible : ici, lorsque l’a­vion s’é­crase, le résul­tat est une perte de 4 mil­liards d’eu­ros moins les primes reçues, soit envi­ron de 4 mil­liards d’eu­ros, et dépasse mes fonds propres d’en­vi­ron 4 mil­liards d’euros !

Mathé­ma­tiques et assu­rances (I)

L’as­su­reur vend des pro­messes, qui peuvent être d’un inté­rêt consi­dé­rable pour celui qui les a ache­tées. Le refus ou l’im­pos­si­bi­li­té pour l’as­su­reur de payer son dû à la date conve­nue pour­rait en effet être lourds de conséquences :

  • pour l’as­su­ré dont l’ef­fort d’é­pargne est annu­lé (assu­rance vie) ;
  • pour l’as­su­ré qui est lais­sé sans indem­ni­té à la suite d’un impor­tant pré­ju­dice (assu­rance incendie) ;
  • pour le tiers vic­time d’un acci­dent (assu­rance auto)… En termes actua­riels, trois types de pro­blèmes se posent à l’assureur :


1. En sup­po­sant qu’il ait tari­fé par­fai­te­ment les risques qu’il assure, à la sous­crip­tion d’un ensemble de contrats, ex ante, son résul­tat est aléa­toire. Que peut-on dire de cet aléa ? Quels sont ses risques de perte, voire de ruine ? A‑t-il sous­crit une réas­su­rance adaptée ?
C’est l’ob­jet de la théo­rie du risque, basée sur le cal­cul des pro­ba­bi­li­tés, de chif­frer les réponses à ces ques­tions. La théo­rie tra­di­tion­nelle est basée sur la loi des grands nombres. Celle-ci dit qu’en mul­ti­pliant le nombre d’as­su­rés par 100, l’é­cart-type du résul­tat est mul­ti­plié par 10, et donc l’in­cer­ti­tude rela­tive sur le résul­tat divi­sée par 10 (du moins si les sinistres sont indé­pen­dants et qu’ils ont une variance finie). C’est parce qu’ils sont cen­sés com­prendre ce que veut dire la phrase pré­cé­dente que tant de poly­tech­ni­ciens sont recru­tés en assu­rance. Par exemple, sup­po­sons que sur un échan­tillon de 1 000 per­sonnes 508 disent vou­loir voter pour le pré­si­den­tiable X : le cal­cul montre que, si l’é­chan­tillon est repré­sen­ta­tif, 46 à 54 % de la popu­la­tion veut voter pour X, et que pour savoir si X est majo­ri­taire… il suf­fit d’in­ter­ro­ger un échan­tillon 100 fois plus grand !
 2. Le tarif a été éta­bli (par l’as­su­reur lui-même ou par un grou­pe­ment d’as­su­reurs ou par une auto­ri­té publique) en appli­quant cer­taines méthodes à cer­taines sta­tis­tiques. Quelles incer­ti­tudes en résulte-t-il et quels sont les risques d’er­reur les plus impor­tants ? La tari­fi­ca­tion fait appel à la science sta­tis­tique dans toutes ses com­po­santes : théo­rie de l’es­ti­ma­tion, décor­ré­la­tion des variables explicatives…
3. » Ex post « , que déduire du résul­tat comp­table de l’an­née ? En par­ti­cu­lier, le tarif pra­ti­qué est-il de nature à conduire à l’in­sol­va­bi­li­té ? Ces cal­culs doivent s’ins­crire dans le cadre comp­table et régle­men­taire qui traite de ce que l’ac­tua­riat appelle » ruine » et la régle­men­ta­tion » insol­va­bi­li­té » : faire des cal­culs sans connaître ce cadre, c’est comme jouer au bridge sans savoir com­ment on compte les points.

Conclusion

Il est vrai que la pro­ba­bi­li­té de ruine de l’as­su­reur (ou son équi­valent la » value at risk » en pro­ve­nance du monde ban­caire) est l’al­pha et l’o­mé­ga de la théo­rie du risque si les condi­tions d’ap­pli­ca­tion du théo­rème de la limite cen­trale sont remplies.

Mais dans d’autres cas, l’in­for­ma­tion qu’elle apporte est insuf­fi­sante, voire insuf­fi­sante au point d’in­duire en erreur ! Elle appelle alors un com­plé­ment… même si ce com­plé­ment n’est pas tou­jours aus­si facile à cal­cu­ler que dans nos exemples.

Ces deux exemples com­parent en effet un » assu­reur » à pro­ba­bi­li­té de ruine petite et à ruine éven­tuelle de faible ampleur et un » escroc » à pro­ba­bi­li­té de ruine certes infime mais… à ruine éven­tuelle consi­dé­rable. Ce fai­sant, nous ne visons nul­le­ment à des­si­ner une fron­tière régle­men­taire ou scien­ti­fique entre assu­reurs et escrocs.

Plus modes­te­ment, nous illus­trons la néces­si­té de ne pas oublier l’en­vi­ron­ne­ment réel lors­qu’on uti­lise un modèle, car un modèle sim­pli­fie néces­sai­re­ment la réa­li­té de manière à per­mettre la déci­sion. La pro­ba­bi­li­té de ruine joue pour l’as­su­reur le rôle de l’al­ti­mètre pour le pilote : il est certes indis­pen­sable à ce der­nier de savoir qu’il est à trois mille pieds au-des­sus du niveau de la mer ; mais il peut avoir besoin d’autres indi­ca­tions, et ce avec un degré d’ur­gence très dif­fé­rent selon que c’est la Médi­ter­ra­née ou les Alpes qu’il tente de survoler ! 

Mathé­ma­tiques et assu­rances (II)

Dans les mathé­ma­tiques actuel­le­ment uti­li­sées, sinon par les assu­reurs eux-mêmes, du moins par les mémoires d’ac­tua­riat, on peut distinguer :

  • l’é­tude de l’au-delà des fron­tières de la » loi des grands nombres » ;
  • l’im­por­ta­tion de concepts en pro­ve­nance de l’u­ni­vers de la finance.


Au-delà des fron­tières de la loi des grands nombres

Deux voies de recherche au-delà de la condi­tion » les sinistres sont indé­pen­dants et ont une variance finie « , qu’a ten­té de reflé­ter le pré­sent article :

  • l’é­tude des sinistres qui ne sont pas indé­pen­dants, notam­ment à l’aide d’un outil mathé­ma­tique venu d’outre-Atlan­tique après avoir pris nais­sance à Lyon : les copu­las ou copules au nom évo­ca­teur d’un cer­tain type de liai­son. La théo­rie des copules cherche par exemple à reflé­ter le fait que deux branches d’as­su­rances des entre­prises telles que » dom­mages aux biens de l’en­tre­prise » et » san­té du per­son­nel » sont a prio­ri indé­pen­dantes, mais qu’un évé­ne­ment peut tou­te­fois faire s’ef­fon­drer l’u­sine sur les ouvriers ;
  • l’é­tude de sinistres qui n’ont pas une variance finie est celle des valeurs extrêmes : la dis­tri­bu­tion que Pare­to avait uti­li­sée pour décrire un reve­nu natio­nal en grande par­tie acca­pa­rée par un petit nombre d’a­gents éco­no­miques s’a­dapte à la des­crip­tion d’une charge des sinistres occa­sion­née en grande par­tie par un petit nombre d’événements.


La théo­rie des valeurs extrêmes cherche par exemple à reflé­ter le fait que si la tem­pête de l’Eu­rope de l’Ouest de 1990 était consi­dé­rée par les sta­tis­ti­ciens de l’é­poque comme un évé­ne­ment se pro­dui­sant tous les cent ans ou deux cents ans, une tem­pête trois fois plus coû­teuse n’en est pas moins sur­ve­nue neuf ans plus tard.

L’im­por­ta­tion depuis l’u­ni­vers de la finance

L’im­por­ta­tion d’ou­tils mathé­ma­tiques en pro­ve­nance de cet uni­vers est a prio­ri fruc­tueuse, sans être tou­te­fois aus­si dénuée de pro­blèmes que le pensent certains.
L’im­por­ta­tion de la value at risk chère aux finan­ciers en sup­plé­ment ou en rem­pla­ce­ment de la pro­ba­bi­li­té de ruine ne pose pas de pro­blème majeur. Il revient en effet sen­si­ble­ment au même de dire » il y a une chance sur dix mille que la perte dépasse les 10 mil­lions d’eu­ros de fonds propres » et » la value at risk au seuil de un sur dix mille est de 10 mil­lions d’euros « .
En revanche la recherche d’une norme comp­table inter­na­tio­nale (dont l’af­faire Enron sou­ligne la néces­si­té) fait grand cas de la fair value qui, oppo­sée par­fois au coût his­to­rique, par­fois à une esti­ma­tion jugée pru­dente, est un concept attractif.
Mais si la théo­rie de la fair value d’un actif, c’est-à-dire la valeur théo­rique qu’il aurait sur un mar­ché de qua­li­té, est suf­fi­sam­ment convain­cante, la théo­rie de la fair value du pas­sif de l’as­su­reur appa­raît encore bal­bu­tiante : par exemple tout assu­reur majore l’es­pé­rance des coûts d’une police d’un » char­ge­ment » pour tenir compte de la vola­ti­li­té de ce coût. Si on observe la méthode uti­li­sée par les réas­su­reurs on constate que la vola­ti­li­té est par­fois iden­ti­fiée à la variance et par­fois à l’é­cart-type ; or la variance est addi­tive, ce qui n’est pas le cas de sa racine car­rée, l’é­cart-type. Le prix de deux por­te­feuilles de 100 000 véhi­cules cha­cun est-il exac­te­ment égal ou sen­si­ble­ment infé­rieur au double du prix d’un por­te­feuille (toutes consi­dé­ra­tions com­mer­ciales et frais de ges­tion mis à part) ? Il paraît dif­fi­cile de fon­der une valeur comp­table théo­rique des pas­sifs sans savoir com­ment répondre à cette question.

Mathé­ma­tiques et assu­rances (III)

Nous n’ou­blie­rons pas de rap­pe­ler toute la microé­co­no­mie des mar­chés impar­faits qui a trou­vé sa source dans l’as­su­rance, en par­ti­cu­lier pour ce qui concerne l’a­sy­mé­trie d’in­for­ma­tion entre l’a­che­teur et le ven­deur. Pre­nons l’exemple d’un assu­reur qui cherche à faire sous­crire des conduc­teurs en sachant qu’ils ont en moyenne 10 % de chance d’a­voir un sinistre. La moi­tié sont de bons conduc­teurs (5 % de chances d’a­voir un sinistre), la moi­tié des mau­vais (15 % de chances d’a­voir un sinistre), l’as­su­reur ne sait pas les dis­tin­guer a prio­ri, alors que les assu­rés eux-mêmes ont conscience d’être de bons ou de mau­vais conduc­teurs (par exemple parce qu’ils savent s’ils prennent de l’al­cool avant de prendre le volant).

L’as­su­reur qui pro­pose un contrat et un tarif unique moyen risque d’a­voir moins de bons conduc­teurs que pré­vu du fait de l’au­to-assu­rance (ou du fait de la concur­rence d’un assu­reur plus perspicace).

Mais la théo­rie lui pro­pose par­fois une solu­tion, avec un contrat payant les sinistres inté­gra­le­ment et un contrat coû­tant 100 euros de moins mais lais­sant à la charge de l’as­su­ré une fran­chise de 1 000 euros par sinistre : les mau­vais assu­rés pren­dront le pre­mier contrat (la fran­chise leur coû­te­rait en moyenne 150), les bons assu­rés le second (car la fran­chise ne leur coû­te­ra en moyenne que 50).

Les assu­reurs vie vendent désor­mais une majo­ri­té des contrats où la garan­tie est liée à l’é­vo­lu­tion d’une Sicav ou d’un Fonds com­mun de pla­ce­ment, avec une garan­tie » plan­cher » en cas de baisse de l’u­ni­té de compte. La recherche s’ef­force d’ap­pré­cier ces garan­ties à l’aide de la théo­rie des options – avec tous les pro­blèmes liés au fait d’ap­pli­quer à des longues durées et à des mar­chés incom­plets une théo­rie qui s’ap­plique à trois mois à des mar­chés aux qua­li­tés nombreuses.



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