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Probabilité de ruine ou value at risk… et vol Paris-Nice

Dossier
Dossier : Mathématiques et entreprisesMagazine N°577 Septembre 2002Par Alain TOSETTI (64)
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L’apti­tude de l’as­sureur à pay­er ce qu’il a garan­ti de pay­er est si fon­da­men­tale que son con­traire, la ” ruine ” de ” l’as­sureur “, est au cen­tre de la théorie math­é­ma­tique de l’as­sur­ance. Cette théorie gravite autour de la ” prob­a­bil­ité ” de la ruine préc­itée et indique com­ment ren­dre cette prob­a­bil­ité très petite par un tarif et une réas­sur­ance adap­tés : dimin­uer la prob­a­bil­ité de ruine y pilote les déci­sions de l’assureur.

La ” ruine ” de l’ac­tu­ar­i­at est entraînée par une perte qui dépasse les fonds pro­pres et rend l’as­sureur ” insolv­able ” au sens de la régle­men­ta­tion ; cette ” insolv­abil­ité ” dif­fère notable­ment de la ” ces­sa­tion de paiement ” qui préoc­cupe les entre­pris­es ordi­naires ; en effet l’as­sureur qui perd de l’ar­gent, parce qu’il paye les sin­istres et presta­tions longtemps après avoir encais­sé les primes (en moyenne deux ans après en assur­ances non-vie), sera insolv­able longtemps avant d’être en ces­sa­tion de paiement.

Remar­quons que ce qui précède con­cerne surtout les assur­ances qui s’ap­pelaient jadis les assur­ances ” dom­mages ” ou ” acci­dents ” et qui s’ap­pel­lent désor­mais les assur­ances ” non-vie ” par oppo­si­tion aux assur­ances qui s’ap­pelaient et s’ap­pel­lent encore ” assur­ances vie “.

L’as­sur­ance vie, du moins l’as­sur­ance vie à car­ac­tère d’é­pargne (c’est-à-dire en cas de survie) présente d’autres prob­lèmes et relève d’une autre mod­éli­sa­tion. L’as­sur­ance vie ” en cas de décès ” relève en revanche de notre pro­pos : mais nul ne s’é­ton­nera, sauf les juristes, de nous voir assim­i­l­er décès et non-vie !

Il est vrai que la prob­a­bil­ité de ruine de la théorie de l’as­sur­ance (ou son équiv­a­lent la ” val­ue at risk ” en prove­nance du monde ban­caire) est le point cen­tral de la théorie du risque… si le théorème de la lim­ite cen­trale s’ap­plique. Si ce n’est pas le cas, la prob­a­bil­ité de ruine peut induire en erreur.

Le théorème de la lim­ite cen­trale dit que la loi de la moyenne d’un grand nom­bre de vari­ables aléa­toires de même loi tend vers une loi nor­male, si les vari­ables sont indépen­dantes et si leur loi pos­sède des moments des deux pre­miers ordres. Il s’é­tend au cas où les vari­ables, sans être indépen­dantes ni avoir même loi, sont rel­a­tives à des risques ni ” trop dépen­dants ” ni ” trop hétérogènes “.

Nous allons illus­tr­er méthodique­ment les deux idées qui précè­dent, en prenant un exem­ple où la prob­a­bil­ité de ruine de l’as­sureur est une bonne infor­ma­tion, puis un con­tre-exem­ple où elle ne l’est pas.

Une faible probabilité de ruine de l’assureur

Con­sid­éré ex ante, le résul­tat R de l’as­sureur est aléa­toire (au sens juridique comme au sens du cal­cul des prob­a­bil­ités) : si ses fonds pro­pres sont FP, la prob­a­bil­ité de ruine est par déf­i­ni­tion : prob­a­bil­ité de ruine = P(R < -FP).

Cette notion suf­fit si les risques sont suff­isam­ment ” nom­breux, homogènes, indépen­dants ” : alors le résul­tat suit une loi nor­male et nous avons le sen­ti­ment, même sans cal­culs, qu’une ruine con­sid­érable est exclue.

Prenons un assureur qui a garan­ti 1 mil­lion d’eu­ros en cas de décès dans l’an­née qui vient à cha­cun de ses 100 000 assurés, dont cha­cun a 1 % de ” chance ” (ou plutôt une prob­a­bil­ité de 1 %) de décéder dans l’année.

Sup­posons que les primes (dimin­uées des frais de ges­tion et majorées par les pro­duits financiers) lui per­me­t­tent de faire face à 1 020 décès, et que les fonds pro­pres soient de 100 mil­lions d’eu­ros, qu’il puisse donc faire face à 1 120 décès, le 1 121e le ruinant. Le cal­cul basé sur la loi des grands nom­bres et le théorème cen­tral lim­ite mon­trent que ce 1 121e décès ne survien­dra pas sou­vent, du moins sous les hypothès­es usuelles et intu­itives : si les décès des assurés sont ” indépen­dants ” (ce qui exclut que les assurés soient nom­breux à tra­vailler dans le même quarti­er ou la même usine…), si l’as­sureur ne s’est pas trompé dans son tarif (c’est-à-dire si chaque assuré a bien 1 % de chances de décéder et pas plus)…

En effet, ce cal­cul indique que, dans ces con­di­tions, la ruine de l’as­sureur cor­re­spon­dant au 1 121e décès (la perte dépas­sant les 100 mil­lions de fonds pro­pres) survien­dra moins d’une fois sur 10 000.

On se dis­pense usuelle­ment d’aller plus loin dans le raison­nement, car l’in­tu­ition indique que si le nom­bre de décès dépasse 1 120 (si la perte dépasse les 100 mil­lions de fonds pro­pres), ce ne sera pas de beau­coup : et le cal­cul con­firme en effet dans ce cas, l’e­spérance du nom­bre de décès est de 1 128, et la perte de 108. En moyenne lorsque la fail­lite se pro­duit il ne manque ” que ” 8 mil­lions à l’as­sureur qui est tenu de pay­er 1 128 mil­lions de sinistres.

Un contre-exemple

Prenons un exem­ple extrême­ment dif­férent, con­for­mé­ment au titre de cet arti­cle. Avant de pren­dre l’avion pour aller de Paris à Nice, je décide de devenir assureur et de garan­tir, à cha­cun des 400 autres pas­sagers, moyen­nant une prime de 10 euros par tête, un cap­i­tal de 10 mil­lions d’eu­ros en cas de décès par crash de l’avion, événe­ment qui a une chance sur un mil­lion de se pro­duire. Mon résul­tat sera alors :

  • presque cer­taine­ment (sauf une fois sur un mil­lion !), un béné­fice de 4 000 euros finançant cor­recte­ment mon voyage ;
  • extrême­ment rarement (une fois sur un mil­lion !), une perte, une perte qui d’ailleurs me ruine, ce dont prob­a­ble­ment je n’au­rai cure ayant par hypothèse pris l’avion.


Bien que ma prob­a­bil­ité de ruine soit nég­lige­able et beau­coup plus petite que celle de maints assureurs dont le précé­dent, je ne suis pas un assureur mais un escroc : je n’ai à aucun moment eu la pos­si­bil­ité de pay­er le sin­istre de 400 fois 10 mil­lions d’eu­ros que je garantis !

La prob­a­bil­ité de ruine doit ici être accom­pa­g­née d’une mesure de la grandeur de la ruine pos­si­ble : ici, lorsque l’avion s’écrase, le résul­tat est une perte de 4 mil­liards d’eu­ros moins les primes reçues, soit env­i­ron de 4 mil­liards d’eu­ros, et dépasse mes fonds pro­pres d’en­v­i­ron 4 mil­liards d’euros !

Math­é­ma­tiques et assur­ances (I)

L’as­sureur vend des promess­es, qui peu­vent être d’un intérêt con­sid­érable pour celui qui les a achetées. Le refus ou l’im­pos­si­bil­ité pour l’as­sureur de pay­er son dû à la date con­v­enue pour­rait en effet être lourds de conséquences :

  • pour l’as­suré dont l’ef­fort d’é­pargne est annulé (assur­ance vie) ;
  • pour l’as­suré qui est lais­sé sans indem­nité à la suite d’un impor­tant préju­dice (assur­ance incendie) ;
  • pour le tiers vic­time d’un acci­dent (assur­ance auto)… En ter­mes actu­ar­iels, trois types de prob­lèmes se posent à l’assureur :


1. En sup­posant qu’il ait tar­ifé par­faite­ment les risques qu’il assure, à la souscrip­tion d’un ensem­ble de con­trats, ex ante, son résul­tat est aléa­toire. Que peut-on dire de cet aléa ? Quels sont ses risques de perte, voire de ruine ? A‑t-il souscrit une réas­sur­ance adaptée ?
C’est l’ob­jet de la théorie du risque, basée sur le cal­cul des prob­a­bil­ités, de chiffr­er les répons­es à ces ques­tions. La théorie tra­di­tion­nelle est basée sur la loi des grands nom­bres. Celle-ci dit qu’en mul­ti­pli­ant le nom­bre d’as­surés par 100, l’é­cart-type du résul­tat est mul­ti­plié par 10, et donc l’in­cer­ti­tude rel­a­tive sur le résul­tat divisée par 10 (du moins si les sin­istres sont indépen­dants et qu’ils ont une vari­ance finie). C’est parce qu’ils sont cen­sés com­pren­dre ce que veut dire la phrase précé­dente que tant de poly­tech­ni­ciens sont recrutés en assur­ance. Par exem­ple, sup­posons que sur un échan­til­lon de 1 000 per­son­nes 508 dis­ent vouloir vot­er pour le prési­den­tiable X : le cal­cul mon­tre que, si l’échan­til­lon est représen­tatif, 46 à 54 % de la pop­u­la­tion veut vot­er pour X, et que pour savoir si X est majori­taire… il suf­fit d’in­ter­roger un échan­til­lon 100 fois plus grand !
 2. Le tarif a été établi (par l’as­sureur lui-même ou par un groupe­ment d’as­sureurs ou par une autorité publique) en appli­quant cer­taines méth­odes à cer­taines sta­tis­tiques. Quelles incer­ti­tudes en résulte-t-il et quels sont les risques d’er­reur les plus impor­tants ? La tar­i­fi­ca­tion fait appel à la sci­ence sta­tis­tique dans toutes ses com­posantes : théorie de l’es­ti­ma­tion, décor­réla­tion des vari­ables explicatives…
3. ” Ex post “, que déduire du résul­tat compt­able de l’an­née ? En par­ti­c­uli­er, le tarif pra­tiqué est-il de nature à con­duire à l’in­solv­abil­ité ? Ces cal­culs doivent s’in­scrire dans le cadre compt­able et régle­men­taire qui traite de ce que l’ac­tu­ar­i­at appelle ” ruine ” et la régle­men­ta­tion ” insolv­abil­ité ” : faire des cal­culs sans con­naître ce cadre, c’est comme jouer au bridge sans savoir com­ment on compte les points.

Conclusion

Il est vrai que la prob­a­bil­ité de ruine de l’as­sureur (ou son équiv­a­lent la ” val­ue at risk ” en prove­nance du monde ban­caire) est l’al­pha et l’omé­ga de la théorie du risque si les con­di­tions d’ap­pli­ca­tion du théorème de la lim­ite cen­trale sont remplies.

Mais dans d’autres cas, l’in­for­ma­tion qu’elle apporte est insuff­isante, voire insuff­isante au point d’in­duire en erreur ! Elle appelle alors un com­plé­ment… même si ce com­plé­ment n’est pas tou­jours aus­si facile à cal­culer que dans nos exemples.

Ces deux exem­ples com­par­ent en effet un ” assureur ” à prob­a­bil­ité de ruine petite et à ruine éventuelle de faible ampleur et un ” escroc ” à prob­a­bil­ité de ruine certes infime mais… à ruine éventuelle con­sid­érable. Ce faisant, nous ne visons nulle­ment à dessin­er une fron­tière régle­men­taire ou sci­en­tifique entre assureurs et escrocs.

Plus mod­este­ment, nous illus­trons la néces­sité de ne pas oubli­er l’en­vi­ron­nement réel lorsqu’on utilise un mod­èle, car un mod­èle sim­pli­fie néces­saire­ment la réal­ité de manière à per­me­t­tre la déci­sion. La prob­a­bil­ité de ruine joue pour l’as­sureur le rôle de l’al­timètre pour le pilote : il est certes indis­pens­able à ce dernier de savoir qu’il est à trois mille pieds au-dessus du niveau de la mer ; mais il peut avoir besoin d’autres indi­ca­tions, et ce avec un degré d’ur­gence très dif­férent selon que c’est la Méditer­ranée ou les Alpes qu’il tente de survoler ! 

Math­é­ma­tiques et assur­ances (II)

Dans les math­é­ma­tiques actuelle­ment util­isées, sinon par les assureurs eux-mêmes, du moins par les mémoires d’ac­tu­ar­i­at, on peut distinguer :

  • l’é­tude de l’au-delà des fron­tières de la ” loi des grands nombres ” ;
  • l’im­por­ta­tion de con­cepts en prove­nance de l’u­nivers de la finance.


Au-delà des fron­tières de la loi des grands nombres

Deux voies de recherche au-delà de la con­di­tion ” les sin­istres sont indépen­dants et ont une vari­ance finie “, qu’a ten­té de refléter le présent article :

  • l’é­tude des sin­istres qui ne sont pas indépen­dants, notam­ment à l’aide d’un out­il math­é­ma­tique venu d’outre-Atlan­tique après avoir pris nais­sance à Lyon : les cop­u­las ou cop­ules au nom évo­ca­teur d’un cer­tain type de liai­son. La théorie des cop­ules cherche par exem­ple à refléter le fait que deux branch­es d’as­sur­ances des entre­pris­es telles que ” dom­mages aux biens de l’en­tre­prise ” et ” san­té du per­son­nel ” sont a pri­ori indépen­dantes, mais qu’un événe­ment peut toute­fois faire s’ef­fon­dr­er l’u­sine sur les ouvriers ;
  • l’é­tude de sin­istres qui n’ont pas une vari­ance finie est celle des valeurs extrêmes : la dis­tri­b­u­tion que Pare­to avait util­isée pour décrire un revenu nation­al en grande par­tie acca­parée par un petit nom­bre d’a­gents économiques s’adapte à la descrip­tion d’une charge des sin­istres occa­sion­née en grande par­tie par un petit nom­bre d’événements.


La théorie des valeurs extrêmes cherche par exem­ple à refléter le fait que si la tem­pête de l’Eu­rope de l’Ouest de 1990 était con­sid­érée par les sta­tis­ti­ciens de l’époque comme un événe­ment se pro­duisant tous les cent ans ou deux cents ans, une tem­pête trois fois plus coû­teuse n’en est pas moins sur­v­enue neuf ans plus tard.

L’im­por­ta­tion depuis l’u­nivers de la finance

L’im­por­ta­tion d’outils math­é­ma­tiques en prove­nance de cet univers est a pri­ori fructueuse, sans être toute­fois aus­si dénuée de prob­lèmes que le pensent certains.
L’im­por­ta­tion de la val­ue at risk chère aux financiers en sup­plé­ment ou en rem­place­ment de la prob­a­bil­ité de ruine ne pose pas de prob­lème majeur. Il revient en effet sen­si­ble­ment au même de dire ” il y a une chance sur dix mille que la perte dépasse les 10 mil­lions d’eu­ros de fonds pro­pres ” et ” la val­ue at risk au seuil de un sur dix mille est de 10 mil­lions d’euros “.
En revanche la recherche d’une norme compt­able inter­na­tionale (dont l’af­faire Enron souligne la néces­sité) fait grand cas de la fair val­ue qui, opposée par­fois au coût his­torique, par­fois à une esti­ma­tion jugée pru­dente, est un con­cept attractif.
Mais si la théorie de la fair val­ue d’un act­if, c’est-à-dire la valeur théorique qu’il aurait sur un marché de qual­ité, est suff­isam­ment con­va­in­cante, la théorie de la fair val­ue du pas­sif de l’as­sureur appa­raît encore bal­bu­tiante : par exem­ple tout assureur majore l’e­spérance des coûts d’une police d’un ” charge­ment ” pour tenir compte de la volatil­ité de ce coût. Si on observe la méth­ode util­isée par les réas­sureurs on con­state que la volatil­ité est par­fois iden­ti­fiée à la vari­ance et par­fois à l’é­cart-type ; or la vari­ance est addi­tive, ce qui n’est pas le cas de sa racine car­rée, l’é­cart-type. Le prix de deux porte­feuilles de 100 000 véhicules cha­cun est-il exacte­ment égal ou sen­si­ble­ment inférieur au dou­ble du prix d’un porte­feuille (toutes con­sid­éra­tions com­mer­ciales et frais de ges­tion mis à part) ? Il paraît dif­fi­cile de fonder une valeur compt­able théorique des pas­sifs sans savoir com­ment répon­dre à cette question.

Math­é­ma­tiques et assur­ances (III)

Nous n’ou­blierons pas de rap­pel­er toute la microé­conomie des marchés impar­faits qui a trou­vé sa source dans l’as­sur­ance, en par­ti­c­uli­er pour ce qui con­cerne l’asymétrie d’in­for­ma­tion entre l’a­cheteur et le vendeur. Prenons l’ex­em­ple d’un assureur qui cherche à faire souscrire des con­duc­teurs en sachant qu’ils ont en moyenne 10 % de chance d’avoir un sin­istre. La moitié sont de bons con­duc­teurs (5 % de chances d’avoir un sin­istre), la moitié des mau­vais (15 % de chances d’avoir un sin­istre), l’as­sureur ne sait pas les dis­tinguer a pri­ori, alors que les assurés eux-mêmes ont con­science d’être de bons ou de mau­vais con­duc­teurs (par exem­ple parce qu’ils savent s’ils pren­nent de l’al­cool avant de pren­dre le volant).

L’as­sureur qui pro­pose un con­trat et un tarif unique moyen risque d’avoir moins de bons con­duc­teurs que prévu du fait de l’au­to-assur­ance (ou du fait de la con­cur­rence d’un assureur plus perspicace).

Mais la théorie lui pro­pose par­fois une solu­tion, avec un con­trat payant les sin­istres inté­grale­ment et un con­trat coû­tant 100 euros de moins mais lais­sant à la charge de l’as­suré une fran­chise de 1 000 euros par sin­istre : les mau­vais assurés pren­dront le pre­mier con­trat (la fran­chise leur coûterait en moyenne 150), les bons assurés le sec­ond (car la fran­chise ne leur coûtera en moyenne que 50).

Les assureurs vie vendent désor­mais une majorité des con­trats où la garantie est liée à l’évo­lu­tion d’une Sicav ou d’un Fonds com­mun de place­ment, avec une garantie ” planch­er ” en cas de baisse de l’u­nité de compte. La recherche s’ef­force d’ap­préci­er ces garanties à l’aide de la théorie des options — avec tous les prob­lèmes liés au fait d’ap­pli­quer à des longues durées et à des marchés incom­plets une théorie qui s’ap­plique à trois mois à des marchés aux qual­ités nombreuses.



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