Principes variationnels & dynamique

Dossier : Arts, Lettres et SciencesMagazine N°617 Septembre 2006Par : JeanLouis BasdevantRédacteur : Christoph KOPPER, professeur associé au Département de physique à l’École polytechnique

Jean-Louis Bas­de­vant a enseigné la physique à l’Écolepolytechnique entre 1969 et 2006, il était pro­fesseur de physique entre 1979 et 2004. Aujourd’hui il est pro­fesseur hon­o­raire. Il est le père de la réforme X 2000 de l’enseignement à l’X. Dans le cadre de cette réforme a été créé un deux­ième cours court de physique aux côtés du cours long tra­di­tion­nel. Ce cours porte sur la rel­a­tiv­ité restreinte et les principes vari­a­tion­nels. Jean-Louis Bas­de­vant a assumé la par­tie con­sacrée aux principes vari­a­tion­nels de ce cours. Le livre dont nous par­lons est issu de ce dernier cours de Jean-Louis Bas­de­vant à l’École. Son sujet – les principes vari­a­tion­nels et la mécanique rationnelle – a été lais­sé de côté dans l’enseignement à l’X assez long temps, mal­gré son impor­tance fon­da­men­tale dans toute la physique, et aus­si mal­gré le fait qu’il s’agisse d’un sujet très poly­tech­ni­cien auquel ont con­tribué de façon déci­sive en par­ti­c­uli­er Lagrange, Pois­son et Poincaré.

Le livre com­mence par une intro­duc­tion aux principes vari­a­tion­nels qui peut pré­ten­dre au rang d’un essai lit­té raire orig­i­nal. Jean-Louis Bas­de­vant donne une vue unifiée sur l’histoire des principes vari­a­tion­nels en com­mençant par les Pythagoréens et Ératosthène, en pas­sant par Buri­dan et la Renais­sance, par Fer­mat et son principe, par Leib­niz et Mau­per­tu­is, et en allant jusqu’à la péri­ode mod­erne qui com­mence avec Euler et Lagrange, et qui va jusqu’à Feyn­man. Plus pro­fondé­ment cette intro­duc­tion nous fait décou­vrir les liens entre les principes vari­a­tion­nels et la cul­ture occi­den­tale dans tous ses aspects, qu’il s’agisse de sci­ence, d’économie, de philoso­phie et de reli­gion ou de l’esthétique.

L’auteur se con­tente d’un min­i­mum de for­mal­isme math­é­ma­tique pour faire com­pren­dre l’essentiel des principes vari­a­tion­nels. Le texte lui-même présente les principes vari­a­tion­nels et la mécanique ana­ly­tique en six chapitres.

Le pre­mier part d’une expli­ca­tion élé­men­taire du principe de Fer­mat et de ses nom­breuses appli­ca­tions en optique. Il est large­ment illus­tré par des exem­ples de mirages dans l’atmosphère ter­restre. Dans ce chapitre les principes vari­a­tion­nels sont illus­trés aus­si par le principe fon­da­men­tal de la physique sta­tis­tique à l’équilibre ther­mique : celui de la max­imi­sa­tion de l’entropie, compte tenu des con­traintes aux­quelles est soumis le sys­tème. L’auteur mon­tre com­ment la dis­tri­b­u­tion de Boltz­mann et toutes ses con­séquences découlent de ce principe vari­a­tion­nel. Il donne d’autres exem­ples de mise en oeu­vre de principes vari­a­tion­nels, comme le cal­cul de sur­faces min­i­males, les lois de Kirch­hoff, etc.

Le deux­ième chapitre com­mence par la mécanique ana­ly­tique de Lagrange. Après une dis­cus­sion brève mais claire des invari­ances et des lois de con­ser­va­tion, on passe aux forces dépen­dant de la vitesse, et on arrive au lagrang­ien d’une par­tic­ule rel­a­tiviste dans un champ élec­tro magnétique.

Le troisième chapitre traite du for­mal­isme 60 canon­ique de Hamil­ton dont Jean-Louis Bas­de­vant souligne la vue prophé­tique sur toute la physique : Hamil­ton a exprimé la con­vic­tion que la mécanique du point cor­re­spond de la même manière à une lim­ite d’une théorie plus fon­da­men­tale, que l’optique géométrique est la lim­ite des faibles longueurs d’onde de l’optique ondulatoire.

Cette théorie plus fon­da­men­tale, la mécanique quan­tique, n’a été décou­verte qu’un siè­cle plus tard ! Ce chapitre donne aus­si une intro­duc­tion aux sys­tèmes dynamiques et au chaos, dont Poin­caré fut le pre­mier prophète.

Le qua­trième chapitre élar­git le for­mal­isme lagrang­ien à la théorie des champs, domaine où il trou­ve son vrai essor. En pas­sant par la corde vibrante on arrive rapi­de­ment aux équa­tions d’EulerLagrange général­isées et au champ de Maxwell.

Le cinquième chapitre fait encore preuve de la con­cep­tion orig­i­nale de ce livre : Jean-Louis Bas­de­vant dis­cute du mou­ve­ment dans des espaces courbes et nous guide vers le point de vue ein­steinien, en nous expli­quant com­ment le mou­ve­ment dans un poten­tiel peut se con­cevoir aus­si comme un mou­ve­ment libre dans un espace à géométrie noneuclidienne.

Ce chapitre con­tient l’explication élé­men­taire et claire de quelques effets de la rel­a­tiv­ité générale : la pré­ces­sion du péri­hélie de Mer­cure et la déflex­ion grav­i­ta­tion­nelle des rayons lumineux. Il est abon­dam­ment illus­tré par des exem­ples de mirages gravi­ta tion­nels pris de l’astrophysique. Le dernier chapitre présente une intro­duc­tion aux inté­grales des chemins de Feyn­man. Là encore les principes vari­a­tion­nels appa­rais­sent comme principe uni­fi­ca­teur à la base d’une vue unifi­ante sur la physique clas­sique et la physique quantique.

Ce livre, orig­i­nal par son ton inspiré, son élé­gance et sa légèreté, et par sa vue unifiée sur des sujets ressen­tis naïve­ment comme indépen­dants, fera plaisir à tout lecteur dont l’intérêt cul­turel pour la physique a survécu à l’esprit quelque­fois un peu util­i­taire de nos temps. Il peut servir comme intro­duc­tion au sujet, dégagé de tout bagage formel inutile. Il sera par­ti­c­ulière­ment intéres­sant pour les généra­tions d’anciens élèves de l’X, qui se sou­vi­en­nent de Jean-Louis Bas­de­vant comme un des enseignants les plus charis­ma­tiques et inspirés à l’École poly­tech­nique de nos temps.

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