Principes variationnels & dynamique

Dossier : Arts, Lettres et SciencesMagazine N°617 Septembre 2006Par : JeanLouis BasdevantRédacteur : Christoph KOPPER, professeur associé au Département de physique à l’École polytechnique

Jean-Louis Basdevant a enseigné la physique à l’Écolepolytechnique entre 1969 et 2006, il était professeur de physique entre 1979 et 2004. Aujourd’hui il est professeur honoraire. Il est le père de la réforme X 2000 de l’enseignement à l’X. Dans le cadre de cette réforme a été créé un deuxième cours court de physique aux côtés du cours long traditionnel. Ce cours porte sur la relativité restreinte et les principes variationnels. Jean-Louis Basdevant a assumé la partie consacrée aux principes variationnels de ce cours. Le livre dont nous parlons est issu de ce dernier cours de Jean-Louis Basdevant à l’École. Son sujet – les principes variationnels et la mécanique rationnelle – a été laissé de côté dans l’enseignement à l’X assez long temps, malgré son importance fondamentale dans toute la physique, et aussi malgré le fait qu’il s’agisse d’un sujet très polytechnicien auquel ont contribué de façon décisive en particulier Lagrange, Poisson et Poincaré.

Le livre commence par une introduction aux principes variationnels qui peut prétendre au rang d’un essai litté raire original. Jean-Louis Basdevant donne une vue unifiée sur l’histoire des principes variationnels en commençant par les Pythagoréens et Ératosthène, en passant par Buridan et la Renaissance, par Fermat et son principe, par Leibniz et Maupertuis, et en allant jusqu’à la période moderne qui commence avec Euler et Lagrange, et qui va jusqu’à Feynman. Plus profondément cette introduction nous fait découvrir les liens entre les principes variationnels et la culture occidentale dans tous ses aspects, qu’il s’agisse de science, d’économie, de philosophie et de religion ou de l’esthétique.

L’auteur se contente d’un minimum de formalisme mathématique pour faire comprendre l’essentiel des principes variationnels. Le texte lui-même présente les principes variationnels et la mécanique analytique en six chapitres.

Le premier part d’une explication élémentaire du principe de Fermat et de ses nombreuses applications en optique. Il est largement illustré par des exemples de mirages dans l’atmosphère terrestre. Dans ce chapitre les principes variationnels sont illustrés aussi par le principe fondamental de la physique statistique à l’équilibre thermique : celui de la maximisation de l’entropie, compte tenu des contraintes auxquelles est soumis le système. L’auteur montre comment la distribution de Boltzmann et toutes ses conséquences découlent de ce principe variationnel. Il donne d’autres exemples de mise en oeuvre de principes variationnels, comme le calcul de surfaces minimales, les lois de Kirchhoff, etc.

Le deuxième chapitre commence par la mécanique analytique de Lagrange. Après une discussion brève mais claire des invariances et des lois de conservation, on passe aux forces dépendant de la vitesse, et on arrive au lagrangien d’une particule relativiste dans un champ électro magnétique.

Le troisième chapitre traite du formalisme 60 canonique de Hamilton dont Jean-Louis Basdevant souligne la vue prophétique sur toute la physique: Hamilton a exprimé la conviction que la mécanique du point correspond de la même manière à une limite d’une théorie plus fondamentale, que l’optique géométrique est la limite des faibles longueurs d’onde de l’optique ondulatoire.

Cette théorie plus fondamentale, la mécanique quantique, n’a été découverte qu’un siècle plus tard ! Ce chapitre donne aussi une introduction aux systèmes dynamiques et au chaos, dont Poincaré fut le premier prophète.

Le quatrième chapitre élargit le formalisme lagrangien à la théorie des champs, domaine où il trouve son vrai essor. En passant par la corde vibrante on arrive rapidement aux équations d’EulerLagrange généralisées et au champ de Maxwell.

Le cinquième chapitre fait encore preuve de la conception originale de ce livre: Jean-Louis Basdevant discute du mouvement dans des espaces courbes et nous guide vers le point de vue einsteinien, en nous expliquant comment le mouvement dans un potentiel peut se concevoir aussi comme un mouvement libre dans un espace à géométrie noneuclidienne.

Ce chapitre contient l’explication élémentaire et claire de quelques effets de la relativité générale : la précession du périhélie de Mercure et la déflexion gravitationnelle des rayons lumineux. Il est abondamment illustré par des exemples de mirages gravita tionnels pris de l’astrophysique. Le dernier chapitre présente une introduction aux intégrales des chemins de Feynman. Là encore les principes variationnels apparaissent comme principe unificateur à la base d’une vue unifiante sur la physique classique et la physique quantique.

Ce livre, original par son ton inspiré, son élégance et sa légèreté, et par sa vue unifiée sur des sujets ressentis naïvement comme indépendants, fera plaisir à tout lecteur dont l’intérêt culturel pour la physique a survécu à l’esprit quelquefois un peu utilitaire de nos temps. Il peut servir comme introduction au sujet, dégagé de tout bagage formel inutile. Il sera particulièrement intéressant pour les générations d’anciens élèves de l’X, qui se souviennent de Jean-Louis Basdevant comme un des enseignants les plus charismatiques et inspirés à l’École polytechnique de nos temps.

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