Mathématiques et développement en Afrique

Ces ” écoles ” rassem­blent des math­é­mati­ciens, agronomes et médecins de la région, dont les pro­fesseurs Charles-Félix Bil­long Bil­long, biol­o­giste de la fac­ulté des sci­ences de Yaoundé, et Albert Samé Ekobo, palu­do­logue et par­a­sitol­o­giste de la fac­ulté de médecine de Yaoundé, sous les aus­pices du pro­fesseur Hen­ri Hogbe-Nlend, ancien pro­fesseur de math­é­ma­tiques à l’u­ni­ver­sité de Bor­deaux, actuelle­ment min­istre de la Recherche sci­en­tifique et tech­nique du Camer­oun, fon­da­teur de l’U­nion math­é­ma­tique africaine.

L’idée de ces math­é­mati­ciens est de prou­ver que les math­é­ma­tiques pures ” ser­vent à quelque chose ” et ils démon­trent la marche en marchant. Ils sont soutenus par le pro­fesseur Claude Lobry, directeur du CIMPA (Cen­tre inter­na­tion­al de math­é­ma­tiques pures et appliquées) et prési­dent de la Com­mis­sion des pays en développe­ment de la Société math­é­ma­tique européenne, et le pro­fesseur Gau­thi­er Sal­let, de l’u­ni­ver­sité de Metz, qui recru­tent eux-mêmes quelques médecins ou math­é­mati­ciens européens spé­cial­istes des ques­tions envis­agées par les écoles prévues.

Dans son allo­cu­tion d’ou­ver­ture, le Min­istre évoque la néces­sité impérieuse pour l’Afrique de se munir de sa pro­pre exper­tise à l’é­gard des straté­gies de développe­ment, ain­si que l’in­térêt évi­dent qu’il y aurait à sus­citer un pôle de math­é­mati­ciens, la région de l’Afrique cen­trale con­sti­tu­ant le niveau le plus sus­cep­ti­ble d’at­tein­dre la masse cri­tique et donc la pérennité.

Il remar­que que les pre­miers Africains for­més dans les uni­ver­sités ont été des juristes, des gens de let­tres, des médecins. À l’Afrique de savoir se munir elle-même du socle rigoureux de tout savoir — la math­é­ma­tique -, aucune recherche appliquée ne pou­vant se com­pren­dre sans le sup­port de la math­é­ma­tique pure. Il souhaite que ces écoles aient une postérité et annonce qu’il se munit des moyens d’y pourvoir.

Les deux textes ci-après reflè­tent une idée des échanges qui ont mar­qué la célébra­tion, par une cen­taine de par­tic­i­pants, de ” l’An­née math­é­ma­tique mon­di­ale ” à Yaoundé.

Pourquoi l’Afrique a besoin de mathématiciens

La pour­ri­t­ure brune est une mal­adie cryp­togamique qui attaque les cacaoyères au sud du Camer­oun. Nous devons à Michel Ndoum­bè Nkeng, ingénieur agronome et bio­métricien à l’I­RAD (Insti­tut camer­ounais de recherche en agronomie pour le développe­ment), l’énon­cé suiv­ant : ” Quand on com­pare la zone forestière (extrême sud du Camer­oun) à la zone de tran­si­tion de la forêt à la savane (60 km au nord de Yaoundé), on con­state que la pour­ri­t­ure brune attaque plus grave­ment les cacaoyères de la zone forestière. Cela est dû à la plu­viométrie, au cli­mat et à la végé­ta­tion. Pour traiter la pour­ri­t­ure brune, on pul­vérise les plan­ta­tions de fongicides.

Si on pou­vait mod­élis­er la prop­a­ga­tion de la pour­ri­t­ure brune, on pour­rait déter­min­er les dos­es de fongi­cides à asperg­er dans une local­ité spé­ci­fique et on réalis­erait des économies sub­stantielles ; de plus, on pour­rait réduire la résis­tance des ger­mes aux fongicides1. ” Cette ques­tion d’a­gronomie devient dès lors un prob­lème de mod­éli­sa­tion mathématique.

Voici les math­é­mati­ciens (sta­tis­ti­ciens et mod­élisa­teurs notam­ment) inter­pel­lés dans un prob­lème impor­tant lié au développe­ment. Nous ren­voyons à l’ar­ti­cle et à l’en­cadré suiv­ants pour d’autres illus­tra­tions de l’im­por­tance de la mod­éli­sa­tion math­é­ma­tique dans la lutte con­tre notre ” mal­adie sociale “, le palud­isme, et dans le con­trôle de son évolution.

Il y a plus de trente ans, des voix autorisées se sont élevées pour proclamer l’u­nité des math­é­ma­tiques, et deman­der de par­ler plutôt de ” la math­é­ma­tique “. En fait, il se trou­ve que la théorie de la mod­éli­sa­tion math­é­ma­tique emprunte à tous les domaines des math­é­ma­tiques, con­fir­mant l’u­nité de celles-ci.

Ain­si, il serait vain d’im­planter en Afrique une école doc­tor­ale (a for­tiori, une maîtrise d’ingénierie math­é­ma­tique) ne com­por­tant que des sta­tis­tiques et de la mod­éli­sa­tion math­é­ma­tique, dont le but serait de résoudre des prob­lèmes liés au développe­ment, si elle ne jouxte pas d’autres écoles de math­é­ma­tiques pures et appliquées. Il faut encore le répéter : ” Il n’y a pas d’un côté, les utiles, les math­é­mati­ciens appliqués, et de l’autre, les inutiles, les math­é­mati­ciens purs ; ce qu’il faut pro­mou­voir, avec le con­cours de la coopéra­tion inter­na­tionale, ce sont de bonnes mathématiques. ”

En Afrique, nous admirons le par­cours sci­en­tifique du pro­fesseur Yves Mey­er, de l’A­cadémie française des sciences2, qui, après avoir excel­lé pen­dant des années dans les math­é­ma­tiques réputées pures (analyse dure, théorie des inté­grales sin­gulières et très sin­gulières), est devenu un maître incon­testé des math­é­ma­tiques appliquées (analyse numérique), suite à son élab­o­ra­tion de la théorie math­é­ma­tique des ondelettes, reprise d’une pra­tique des ingénieurs en recherche pétrolière. De cette théorie sont ensuite issues de nom­breuses appli­ca­tions au traite­ment du sig­nal et de l’image.

Cer­tains pour­raient nous rétor­quer que cet exem­ple n’est pas probant, parce que l’en­racin­e­ment de la tra­di­tion sci­en­tifique et le niveau de tech­nolo­gie sont faibles sous nos lat­i­tudes. Nous leur répon­drons sim­ple­ment que nous voulons être du train actuel de la ” mon­di­al­i­sa­tion “, de la ” glob­al­i­sa­tion “. Surtout, nous répéterons ce que nous écriv­ions déjà en 1998 dans notre pro­jet de créa­tion d’un Cen­tre région­al de math­é­ma­tiques en Afrique cen­trale : ” Le degré de développe­ment d’un pays se mesure en très grande par­tie à sa maîtrise des sci­ences fon­da­men­tales et des tech­nolo­gies, et ce critère est telle­ment implaca­ble que la présence d’énormes richess­es dans son sous-sol ne mod­i­fie pas con­sid­érable­ment le classe­ment d’un pays (pré­dom­i­nance de l’or gris sur l’or noir, l’or vert, l’or jaune…).

En effet, en l’ab­sence d’une activ­ité de recherche per­for­mante, il est incon­cev­able d’e­spér­er des solu­tions à des prob­lèmes liés au développe­ment économique et social. ” Un peu plus loin dans le même texte, nous écriv­ions : ” En rai­son du coût financier rel­a­tive­ment peu élevé de la for­ma­tion des math­é­mati­ciens, il est dif­fi­cile de jus­ti­fi­er que l’Afrique demeure en sit­u­a­tion d’ex­clue dans le domaine des sci­ences fon­da­men­tales aussi. ”

Nous allons plus loin ; nous déclarons que l’Afrique doit se lancer dans la bataille économique mon­di­ale de fab­ri­ca­tion de logi­ciels. Dans ce but, il est incon­testable qu’il faut sans délai pro­mou­voir et dévelop­per l’é­cole math­é­ma­tique africaine…

David Békollé
Université de Yaoundé I, Cameroun

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1. Table ronde de l’é­cole ” Sta­tis­tique appliquée à l’a­gronomie “, célébra­tion de l’An­née math­é­ma­tique mon­di­ale 2000, Yaoundé, 28 août‑1^er sep­tem­bre 2000.
2. Yves Mey­er a été élu à l’A­cadémie des sci­ences dans la sec­tion des sci­ences mécaniques.

Un modèle mathématique pour le paludisme

Ronald Ross, au sujet du palud­isme, écrit en 1911 : ” Affirmer qu’une mal­adie est sous la dépen­dance de cer­tains fac­teurs sert à bien peu de choses, à moins qu’il ne soit pos­si­ble d’é­val­uer l’in­flu­ence de cha­cun des fac­teurs sur le résul­tat final. ”

Com­ment se présente, actuelle­ment, la lutte con­tre le palud­isme en Afrique au sud du Sahara ? D’un point de vue pure­ment économique, traiter des malades à l’aide de médica­ments pro­duits en Occi­dent est une gageure. Le genre de vie n’est pas en cause, c’est le seul niveau de vie qui inter­vient ici. Com­parés aux prix des ali­ments et loge­ments, qui sont à la portée des ménages, les médica­ments importés sont abom­inable­ment chers et, sauf excep­tions, inac­ces­si­bles. En Occi­dent, une cap­i­tal­i­sa­tion de ressources anci­enne et suff­isante autorise un mod­èle de pro­tec­tion san­i­taire libéral et individuel.

En Afrique il y a d’autres pri­or­ités et dans le domaine médi­cal la préven­tion offre d’év­i­dence un meilleur rap­port coût-effi­cac­ité. Si l’hôpi­tal reste indis­pens­able pour les urgences en milieu urbain, en revanche les grands prob­lèmes de san­té publique, ruraux surtout, exi­gent des cam­pagnes de masse. Ain­si ont été traitées la mal­adie du som­meil, la lèpre, la fièvre jaune, la var­i­ole, l’on­chocer­cose. Pourquoi, alors, les pro­grammes et pro­jets ” inter­na­tionaux ” d’érad­i­ca­tion du palud­isme ont-ils abouti, après quar­ante ans d’ef­forts, à un résul­tat nul ?

C’est que le palud­isme intertrop­i­cal africain pose un prob­lème d’un tout autre ordre de grandeur. Le palud­isme à plas­mod­i­um vivax acca­ble la terre entière, mais on lui survit. En Afrique sévit le palud­isme à plas­mod­i­um fal­ci­parum qui est un tueur. On sait qu’une pop­u­la­tion d’o­rig­ine européenne s’est implan­tée dans les deux Amériques, en Aus­tralie (l’Asie por­tait déjà une pop­u­la­tion dense) mais jamais en Afrique sub­sa­hari­enne. His­torique­ment le fal­ci­parum a inter­dit tout étab­lisse­ment européen durable et, ce faisant, a con­servé l’Afrique à sa pop­u­la­tion d’origine.

À l’ex­cep­tion de l’Afrique du Sud ? Non, il n’y a pas de fal­ci­parum en Afrique du Sud. Ceci s’est fait au prix d’une effroy­able mor­tal­ité infan­tile (encore de l’or­dre de 20 %) mais la pop­u­la­tion africaine a pu se munir d’une immu­nité naturelle, en quelques mil­liers ou dizaines de mil­liers d’an­nées. Il est main­tenant de sa respon­s­abil­ité de se défaire de son ter­ri­ble ” pro­tecteur “. L’Afrique dis­pose de biol­o­gistes et de médecins com­pé­tents, mais on sait que la démarche pure­ment médi­cale a échoué.

Or il y a mieux à faire : c’est d’a­gir à la racine du mal. Pour cela il faut con­naître les ” points faibles ” du mor­tifère fal­ci­parum et par points faibles on entend deux idées.

• Math­é­ma­tique : la ter­ri­ble sta­bil­ité du palud­isme, mal­gré des dizaines d’an­nées de lutte, mon­tre qu’il y a bien lieu d’i­den­ti­fi­er avant tout un point faible, éventuel ” col ” autour du ” cirque ” cen­tral d’un espace de représen­ta­tion, celui de la solu­tion ana­ly­tique du prob­lème. Actuelle­ment, l’endémie est au fond du cirque, l’équili­bre est sta­ble, elle y revient inex­orable­ment, quelque effort qu’on fasse pour l’en tir­er. Existe-t-il un col, ou plusieurs, quelle est la voie opti­male pour franchir le meilleur ? Nul ne sait.
   
• Économique : ces points faibles sont ceux qui ont le meilleur rap­port coût-effi­cac­ité. Par exem­ple, la lutte con­tre des vecteurs. On use d’in­sec­ti­cides, de mous­ti­quaires ; on prend des mesures envi­ron­nemen­tales à l’é­gard des végé­taux ou points d’eau ; ou domi­cil­i­aires, mode d’habi­tat, horaires, et ain­si de suite.
  On en trou­verait dix autres, par exem­ple l’in­tro­duc­tion de pop­u­la­tions d’in­sectes stériles, ou d’in­sectes au sex ratio géné­tique­ment déséquili­bré (ceci dit en dehors de toute mesure médi­cale pro­pre­ment dite, pro­phy­lax­ie ou vac­cin hypothé­tique, et qu’il fau­dra pour­tant inté­gr­er et chiffr­er). On n’ou­blie pas les retombées : la lutte con­tre l’on­chocer­cose a coûté cher, mais elle a ren­du à l’ex­ploita­tion d’im­menses ter­res cultivables.

  
  Rien n’est alors meilleur qu’un mod­èle auquel on demande d’abord de bien repro­duire la réal­ité observée, même au prix d’hy­pothès­es non encore expliquées, mais fonc­tion­nelles et éprou­vées. On peut dès lors l’u­tilis­er comme un mod­èle prévi­sion­nel. Ce mod­èle, on sait qu’on l’amélior­era au fur et à mesure de l’ex­péri­ence. De ce jeu des hypothès­es de lutte, on attend le choix de la meilleure stratégie.

  Voilà pourquoi l’Afrique a besoin de math­é­mati­ciens, sta­tis­ti­ciens, prob­a­bilistes, mod­élisa­teurs et auto­mati­ciens. Ses choix stratégiques ne peu­vent pas être con­fiés à des experts étrangers. Et ce, à plus d’un titre, car la médecine n’est pas seule con­cernée : l’él­e­vage, l’a­gri­cul­ture, la pro­tec­tion de la faune sauvage, la recherche de cer­tains minéraux utilisent des méth­odes sem­blables. Ain­si une utopie devient pro­jet, puis un pro­jet réal­ité : l’avenir dépend de cette option.

  Anatomie du modèle
  Le pre­mier des mod­èles épidémi­ologiques est celui de McDon­ald, 1957, dont la valeur his­torique est incon­tourn­able. Avec nos nota­tions : N est la pop­u­la­tion humaine dont G le nom­bre d’in­fes­tants pour le mous­tique, b le coef­fi­cient de récep­tiv­ité de l’homme qui reste infesté j jours, a est la fréquence des repas de sang par mous­tique et par jour, m l’ef­fec­tif relatif des mous­tiques (par homme), q est la mor­tal­ité quo­ti­di­enne du mous­tique, n le nom­bre de jours avant la migra­tion des ger­mes du palud­isme dans les glan­des salivaires.
  McDon­ald cal­cule alors le nom­bre de mous­tiques infestés I = (maG) / (a (G/N) + q) puis le taux de repro­duc­tion du palud­isme R₀ qui serait une esti­ma­tion du nom­bre de cas atten­dus l’an­née suiv­ante, pour un cas observé l’an­née en cours, soit, le poten­tiel évo­lu­tif de l’endémie :
  R₀ = jma²b (1‑I/mN) e^-qn/q
  Or ce taux de repro­duc­tion du palud­isme a été peu util­isé réelle­ment car le cal­cul con­duit partout à des nom­bres supérieurs à cent (plus de cent cas l’an prochain pour un cas cette année) ce qui n’est pas réal­iste. Ce R₀ a l’in­con­vénient d’être pure­ment ento­mologique. En effet N et G sont observés et N n’in­ter­vient qu’en rela­tion avec m ; de plus j et b sont trop sim­plistes et n’in­téressent ici que le mous­tique qui prend un sec­ond repas. Il y a un para­doxe à faire abstrac­tion de la dynamique du palud­isme chez l’homme dans l’é­tude de l’endémie.
  Notre mod­èle (Ann. soc. belge méd. trop. 1976, 56, 3, 127–141), avant tout didac­tique, est encore très sim­ple, mais il prend en compte autant les fac­teurs médi­caux qu’en­to­mologiques. C’est un mod­èle dis­cret à com­par­ti­ments. Les boîtes con­cer­nent les sujets récep­tifs, infestés, les accès palus­tres, les immu­nités acquis­es, etc. Chaque incré­men­ta­tion men­su­elle appelle des équa­tions en dif­férences finies qui font pass­er des sujets de boîte en boîte. Notre mod­èle com­porte 6 com­par­ti­ments et 13 for­mules de tran­si­tion. Au cen­tre du dis­posi­tif aurait dû inter­venir la loi de Pois­son pour l’in­ci­dence des nou­veaux cas (implicite pour McDon­ald) mais il est alors impos­si­ble d’a­juster obser­va­tions et mesures.
  L’im­por­tance de la sen­si­bil­ité (ou récipro­que­ment : de la résis­tance naturelle) de la pop­u­la­tion africaine au fal­ci­parum nous a paru évi­dente. Restait à lui don­ner une forme math­é­ma­tique. Nous avons pen­sé à une loi gam­ma d’Euler avec ses deux paramètres b et k d’échelle et de forme. Un paramètre k < 1 con­duit à une dis­tri­b­u­tion de sen­si­bil­ité très asymétrique à gauche, k = 1 mène à l’ex­po­nen­tielle décrois­sante, pour k > 1 la dis­tri­b­u­tion devient log-nor­male d’abord, nor­male enfin pour k = 5 et plus. De fait, cette loi per­met un ajuste­ment facile. Autre avan­tage, si le risque moyen est dis­tribué dans la pop­u­la­tion selon une loi gam­ma de moyenne h et de vari­ance v il résulte que la dis­tri­b­u­tion des infec­tions dans la pop­u­la­tion suit une loi bino­mi­ale néga­tive (loi de Pas­cal) de moyenne h et de vari­ance h + v.
  Dans la loi de Pois­son la vari­ance est égale à la moyenne h, dans la bino­mi­ale néga­tive elle est plus grande, et la dif­férence est la vari­ance de la dis­tri­b­u­tion du risque dans la pop­u­la­tion d’o­rig­ine. Les paramètres ont un sens iden­ti­fié, c’est impor­tant. Notre for­mule de trans­mis­sion devient, avec i l’in­ci­dence de la mal­adie pour trente jours, S l’ef­fec­tif des insectes infec­tants, k le paramètre d’échelle :
  i = 1- (1 + abS/Nk)^-30k
  Un choix unique de paramètres b et k per­met un ajuste­ment réal­iste et robuste des obser­va­tions de malades et des mesures ento­mologiques sur deux ordres de grandeur, de i = 0,005 à i = 0,50 au même lieu, sur douze mois, dans la zone pilote de Bobo-Dioulasso.
  Nous avons pu actu­alis­er de cette façon le R₀ déjà cité qui devient, en prenant R le com­par­ti­ment des récep­tifs : (Rj/G) k Log (1 + (abS/N)/k). Notre cal­cul con­duit alors à une valeur moyenne annuelle de 1, com­pat­i­ble avec la fla­grante sta­bil­ité du palud­isme dans cette même région.

  Docteur Jean Dutertre, épidémiologiste

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