Investissements stratégiques en environnement incertain : approche pire-cas

I. Approches actuelles pour l’évaluation du risque

Analyses probabilistes des investissements

I. Approches actuelles pour l’évaluation du risque

Analyses probabilistes des investissements

La plu­part des investisse­ments indus­triels ou financiers sont générale­ment décidés en fonc­tion de la valeur actuelle des cash-flows futurs. La théorie sou­vent util­isée dans ce cas est le Cap­i­tal Asset Pric­ing Mod­el, base de la finance mod­erne et notam­ment décrite dans l’ou­vrage de référence de Brealey et Myers. La valeur util­isée pour chaque cash-flow futur est alors une moyenne (l’e­spérance math­é­ma­tique), le risque spé­ci­fique (ou volatil­ité) asso­cié à l’opéra­tion étant pris en compte par le taux d’actualisation.

Le CAPM fait le lien entre le retour atten­du d’un investisse­ment et le risque lié à cet investisse­ment (voir fig­ure 1). Il sup­pose que les investis­seurs, sur les marchés financiers ou au sein de l’en­tre­prise, pour­suiv­ent un dou­ble objec­tif : aug­menter le retour atten­du et réduire la volatil­ité. Il sup­pose aus­si que l’in­vestis­seur raisonne sur la moyenne en pra­ti­quant une poli­tique de diver­si­fi­ca­tion active.

Le prin­ci­pal avan­tage de cette approche est sa sim­plic­ité d’u­til­i­sa­tion. Cepen­dant elle est insuff­isante sur un pro­jet d’im­por­tance stratégique pour l’en­tre­prise où raison­ner sur la moyenne n’a pas de sens et où le pire- cas peut s’avér­er catastrophique.

Analyse de sensibilité par scénarios

Pour sor­tir d’un raison­nement sur la moyenne, une approche courante con­siste à étudi­er quelques scé­nar­ios pos­si­bles, cor­re­spon­dant à des valeurs opti­mistes et pes­simistes des paramètres sus­cep­ti­bles de vari­er. L’im­pact de ceux-ci sur le retour atten­du est ain­si étudié au cas par cas, con­duisant à une analyse de sen­si­bil­ité, générale­ment avec un mod­èle sim­ple sur une feuille de calcul.

Cette approche ne per­met pas d’é­tudi­er un grand nom­bre de scé­nar­ios, à cause de la com­bi­na­toire qui en résulte. En con­séquence, elle peut dif­fi­cile­ment s’adapter à un con­texte dynamique, où des cor­réla­tions fortes et com­plex­es peu­vent exis­ter entre des paramètres incer­tains sus­cep­ti­bles de vari­er au cours du temps.

Méthodes de Monte-Carlo

Lorsque la ges­tion par scé­nar­ios est impos­si­ble à effectuer de façon exhaus­tive, même avec des ordi­na­teurs très puis­sants, la méthode retenue con­siste le plus sou­vent à effectuer des tirages au sort avec des lois de prob­a­bil­ité fixées à l’a­vance, et à éval­uer les moyennes et les prob­a­bil­ités asso­ciées aux résul­tats(1). Le recours à l’é­val­u­a­tion sta­tis­tique per­met de réduire sub­stantielle­ment le nom­bre total de cal­culs néces­saires, mais l’ensem­ble des com­bi­naisons à explor­er pour un résul­tat sat­is­faisant est néan­moins très impor­tant. Dans beau­coup de cas pra­tiques, ce fac­teur rend la méthode inapplicable.

Gestion du risque par externalisation

Face à une sit­u­a­tion sin­gulière et stratégique pour l’en­tre­prise, mais qui se retrou­ve sous des formes sim­i­laires dans d’autres entre­pris­es, il est par­fois pos­si­ble d’ex­ter­nalis­er le risque par assur­ance ou option. Dans ce cas, c’est la société d’as­sur­ance ou l’in­ter­mé­di­aire financier qui utilise les méth­odes prob­a­bilistes décrites précédem­ment pour établir le prix de l’assurance.

La ges­tion par exter­nal­i­sa­tion est un instru­ment sim­ple à met­tre en œuvre, et qui apporte des garanties de résultats.

Limites des approches actuelles

Les approches décrites ci-dessus, couram­ment util­isées, ont cepen­dant cer­taines limites :

• le CAPM ne four­nit qu’un résul­tat prob­a­biliste, qui est sou­vent de peu d’in­térêt dans un con­texte stratégique où le pire-cas doit être connu ;
• l’ap­proche par scé­nario sur feuille de cal­cul ne per­met pas de tenir compte d’in­ter­ac­tions com­plex­es et dynamiques, et d’in­cer­ti­tudes sus­cep­ti­bles de vari­er dans le temps ;
  . l’ap­proche Monte-Car­lo a une com­plex­ité qui croît très forte­ment avec la “taille” du prob­lème, ce qui lim­ite l’hori­zon tem­porel sur lequel peut porter l’analyse ;
• l’ex­ter­nal­i­sa­tion n’est pos­si­ble que si un marché du risque existe.

Ces lim­ites et les événe­ments récents sur les marchés financiers mon­trent l’in­térêt de tenir compte du pire-cas dans un con­texte fon­da­men­tale­ment dynamique et incertain.

2. Modélisation par les systèmes dynamiques

La dynamique des systèmes

La dynamique des sys­tèmes est une dis­ci­pline des math­é­ma­tiques appliquées qui a récem­ment pris une grande ampleur grâce aux capac­ités de sim­u­la­tion des ordi­na­teurs. Elle est à la base de nom­breuses approches de pré­dic­tion par exem­ple en météorolo­gie, mécanique des struc­tures… Elle a été pro­mue dans le domaine de l’é­conomie notam­ment par Jay W. For­rester du MIT. Appliquée à notre prob­lème, elle per­met de pren­dre en compte la com­plex­ité et de se pro­jeter dans le temps en ten­ant compte des boucles, cor­réla­tions et divers­es rétroac­tions entre les dif­férentes com­posantes du système.

Limites de la modélisation dynamique

La mod­éli­sa­tion par sys­tèmes dynamiques prend en compte la dynamique ain­si que la com­plex­ité d’un sys­tème, remé­di­ant ain­si à cer­taines lim­ites des approches clas­siques. Cepen­dant, cette mod­éli­sa­tion ne prend pas en compte l’in­cer­ti­tude liée au sys­tème. On peut bien sûr utilis­er la sim­u­la­tion pour tester les scé­nar­ios. On retrou­ve alors le prob­lème de l’ex­plo­sion com­bi­na­toire ren­con­trée aupar­a­vant dans les approches de type Monte-Carlo.

De ce con­stat est né le pro­jet de col­lab­o­ra­tion entre L. El Ghaoui et A.T. Kear­ney pour éval­uer la per­ti­nence de cou­pler “mod­éli­sa­tion par sys­tème dynamique” avec une nou­velle approche math­é­ma­tique “l’analyse pire-cas” pour aider à la déci­sion stratégique en envi­ron­nement incertain.

3. Analyse pire-cas et aide à la décision stratégique

Analyse pire-cas et garantie sur le résultat

L’analyse pire-cas est une tech­nique récente per­me­t­tant d’ap­porter des garanties sur un résul­tat en envi­ron­nement incer­tain. Elle répond à des ques­tions telles que : “quelles sont les valeurs min­i­males et max­i­males que peu­vent pren­dre des fonc­tions dont les paramètres ne sont con­nus qu’à un inter­valle près ?”.

L’analyse pire-cas est aujour­d’hui couram­ment util­isée dans un con­texte d’ingénierie des sys­tèmes dynamiques : pilotage de cen­trale nucléaire mal­gré des pannes de cap­teurs, détec­tion de col­li­sion de traf­ic aérien, élab­o­ra­tion de posolo­gie opti­male pour le traite­ment d’in­fec­tions, etc. Dans toutes ces appli­ca­tions, il est cru­cial d’avoir la capac­ité de traiter des incer­ti­tudes éventuelle­ment grandes, et d’ap­porter des garanties sur le résultat.

Le cal­cul n’est pas com­bi­na­toire car il est for­mulé comme un prob­lème de pro­gram­ma­tion math­é­ma­tique con­vexe, que l’on sait résoudre effi­cace­ment en un temps réduit. Il en résulte des inter­valles de con­fi­ance qui ne sont pas stricte­ment opti­maux, mais qui offrent un excel­lent com­pro­mis entre le temps de cal­cul néces­saire et la pré­ci­sion obtenue.

Application aux investissements stratégiques

EXEMPLES DE CAS D’APPLICATION DE L’APPROCHE PIRE-CAS

1. Stratégie d’un nou­v­el entrant sur un secteur com­plexe et dérégulé (Télé­coms, énergie, transport…).
    
2. Tac­tiques de pric­ing en envi­ron­nement dynamique (Télé­com­mu­ni­ca­tions mobiles, trans­port aérien…).
    
3. Déci­sion d’in­vestisse­ment sur un nou­veau pro­duit (auto­mo­bile, pharmacie…).
    
4. Acqui­si­tions et joint-ventures.

Pour un investisse­ment stratégique, on peut cou­pler l’analyse pire-cas avec un mod­èle dynamique. On obtient ain­si des courbes décrivant dans le temps les valeurs min­i­males et max­i­males que peu­vent pren­dre les indi­ca­teurs de per­for­mance de l’in­vestisse­ment : vol­ume, cash-flow, retour sur cap­i­tal employé…

Pour illus­tr­er le type de résul­tats atten­dus de cette approche, con­sid­érons par exem­ple le prob­lème d’un nou­v­el entrant sur un marché. Après une péri­ode ini­tiale d’in­vestisse­ments, le décideur prévoit un retour sur investisse­ment de 20 % (voir fig­ure 2).

À par­tir d’in­ter­valles larges sur les paramètres cri­tiques : taux de change, cours de matières pre­mières, entrée d’un con­cur­rent… l’analyse pire-cas cou­plée au mod­èle dynamique per­met de quan­ti­fi­er rapi­de­ment l’im­pact max­i­mum sur la rentabil­ité et de garan­tir un retour min­i­mum aux investisseurs.

Conclusion et perspectives

L’ap­proche pire-cas offre de nom­breuses per­spec­tives intéres­santes pour l’aide à la déci­sion stratégique en envi­ron­nement incer­tain en don­nant une garantie sur le cas le plus défa­vor­able. Elle s’avère par­ti­c­ulière­ment utile pour les déci­sions stratégiques lour­des de l’en­tre­prise, où il n’y a pas de pos­si­bil­ité de retour en arrière ni de sor­tie pen­dant une péri­ode rel­a­tive­ment longue. Finale­ment, comme le mon­tre la matrice complexité/incertitude (fig­ure 3), l’ap­proche pire-cas s’in­scrit dans une prob­lé­ma­tique d’incertitude/complexité forte où elle est en mesure, plus que les autres instru­ments d’analyse, d’ap­porter une aide à la déci­sion stratégique.

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1. Ain­si, le logi­ciel KMV, sou­vent util­isé en analyse de risque de crédit, s’appuie sur cette méthode.

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