Cours d’algèbre Primalité, divisibilité, codes

Dis­ci­plines plus que bimil­lé­naires, l’algèbre et l’arithmétique ont con­nu récem­ment des appli­ca­tions aus­si spec­tac­u­laires qu’inattendues. Com­ment décom­pos­er un nom­bre en fac­teurs pre­miers, com­ment recon­naître si un nom­bre est pre­mier : ces ques­tions, reviv­i­fiées par l’existence des moyens mod­ernes de cal­cul, se retrou­vent aujourd’hui au coeur des procédés de cryp­togra­phie les plus récents. La numéri­sa­tion du stock­age et de la trans­mis­sion de l’information utilise les codes cor­recteurs, appli­ca­tion sur­prenante des corps finis inven­tés par Galois.

À côté de cette appli­ca­tion mod­erne d’une théorie clas­sique, les ordi­na­teurs, dans d’autres domaines, sont en train de mod­i­fi­er la con­cep­tion que l’on a de l’algèbre. Le livre de Michel Demazure s’inscrit dans ce mou­ve­ment, et l’enseignement de l’algèbre va cer­taine­ment évoluer pour une part dans la direc­tion qu’il indique.

Issu d’un enseigne­ment à l’École poly­tech­nique, ce Cours d’algèbre est acces­si­ble à des étu­di­ants de licence ou à de bons élèves de class­es pré­para­toires. Il ren­dra de grands ser­vices aux agré­gat­ifs. Il peut inspir­er des cours d’algèbre d’un style nou­veau à l’Université ou dans les écoles d’ingénieurs.

La pre­mière par­tie traite d’abord de l’analyse des algo­rithmes, puis de l’arithmétique clas­sique et de la trans­for­ma­tion de Fouri­er rapi­de, avec comme objec­tif la con­struc­tion de tests per­for­mants de recon­nais­sance des nom­bres premiers.

La deux­ième par­tie est con­sacrée à la théorie élé­men­taire des anneaux com­mu­tat­ifs, notam­ment à la divisibilité.

La troisième par­tie, après une intro­duc­tion aux corps finis et à la théorie cyclo­tomique, présente un exposé détail­lé de leurs appli­ca­tions aux codes correcteurs.

Ce livre con­tient 281 exer­ci­ces avec solu­tions, dont un grand nom­bre com­porte des cal­culs sur ordinateur.

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