So-grid : observer et surveiller les réseaux électriques

Dossier : Trend-XMagazine N°740 Décembre 2018
Par Thomas CLAUSEN
Par Claudia D'AMBROSIO
Par Leo LIBERTI
Par Pierre-Louis POIRION
Par Sonia TOUBALINE
Par Jiazi YI
Le projet SO-grid fut conçu et développé pour tester le contrôle d’un réseau de distribution électrique moderne, intégrant des sources d’énergie renouvelable entre autres par le biais d’une communication « Courant porteur en ligne ». Le projet donna lieu à la conception de nouveaux outils de mesure (capteurs), protocoles de communication, et méthodes innovantes pour la planification du déploiement de capteurs dans un réseau existant.

Les grands acteurs des marchés élec­triques investis­sent de plus en plus dans l’adéquation de leurs réseaux de trans­port et de dis­tri­b­u­tion. En France, par exem­ple, EDF, Enedis (ex-ERDF) et RTE sub­ventionnent plusieurs actions de recherche en math­é­ma­tiques appliquées, infor­ma­tique et ingénierie (par exem­ple grâce à l’initiative PGMO ­www.fondation-hadamard.fr/PGMO). La dif­férence des besoins par rap­port au passé est que l’approvisionnement et la demande de puis­sance sont devenus moins prévis­i­bles et cen­tral­isés, et ce à cause, entre autres, des sources d’énergie renou­ve­lable. Dans un scé­nario cen­tral­isé, les quelques pics de demande sont d’habitude assez bien gérés par la capac­ité résidu­elle du réseau, ce qui devient de plus en plus dif­fi­cile aujourd’hui, avec des con­séquences cat­a­strophiques. La ges­tion d’un réseau élec­trique est une tâche dif­fi­cile. La mod­éli­sa­tion des élé­ments du réseau util­isée aujourd’hui par des out­ils de plan­i­fi­ca­tion fait des approx­i­ma­tions par­fois grossières par rap­port à la réal­ité physique (une approche pré­cise mèn­erait à des prob­lèmes trop dif­fi­ciles à résoudre). Pire, il ne sem­ble pas y avoir une stan­dard­i­s­a­tion com­mune et accep­tée des approx­i­ma­tions de modélisation.

Par exem­ple, con­sid­érons un des prob­lèmes fon­da­teurs de la dis­tri­b­u­tion de l’électricité : l’Alter­nat­ing Cur­rent Opti­mal Pow­er Flow (ACOPF). Le courant élec­trique oscille dans les câbles de 50 à 60 fois par sec­onde. Dans les équa­tions de l’ACOPF, par ailleurs, le courant est mod­élisé plutôt comme un liq­uide qui passe dans des paires de tuyaux par­al­lèles, dans les deux direc­tions opposées. Dans ce cas, nous util­isons la moyenne comme approx­i­ma­tion [1]. Nous n’approximons pas tout, évidem­ment : d’autres pro­priétés du courant alter­natif sont bien représen­tées dans le modèle.


REPÈRES

Dix parte­naires indus­triels et académiques ont par­ticipé au pro­jet SO-Grid lancé en 2013. L’École poly­tech­nique fut impliquée dans la con­cep­tion des pro­to­coles de com­mu­ni­ca­tion sur les lignes de trans­port de puis­sance et le déploiement opti­mal des cap­teurs sur le réseau. Les activ­ités de recherche ont été menées par des pro­fesseurs et chercheurs du lab­o­ra­toire d’informatique (LIX), coau­teurs de cet article.


Le réseau intelligent, nouveau mode de transport électrique

Au début des années 2000, un nou­veau type de trans­port élec­trique fut conçu : le réseau intel­li­gent (smart grid) [2, 5]. Un tel réseau devrait : (a) élim­in­er la pos­si­bil­ité des coupures élec­triques (black­out) à large échelle engen­drées par des pannes ponctuelles ; (b) inté­gr­er la généra­tion de puis­sance à par­tir de sources d’énergie renou­ve­lable ; © prédire et réa­gir aux change­ments imprévus de demande de puis­sance ; (d) pou­voir chang­er d’échelle en cas d’augmentation du nom­bre d’utilisateurs du réseau ; et (e) être doté d’outils de prise de déci­sion suff­isam­ment sophis­tiqués pour pou­voir éval­uer le prix uni­taire de puis­sance cor­recte­ment et de manière trans­par­ente. Ce réseau devrait aus­si pou­voir fonc­tion­ner de manière forte­ment (voir com­plète­ment) automa­tisée, dis­pos­er d’une infra­struc­ture de com­mu­ni­ca­tion très avancée, et savoir se défendre des attaques cyberné­tiques. Toute­fois, il est impos­si­ble de chang­er un réseau exis­tant en smart grid sans une phase de tests très longue et poussée : c’est la véri­ta­ble moti­va­tion du pro­jet SO-grid. Une zone proche de Toulouse fut choisie pour un test de trans­for­ma­tion du réseau exis­tant en smart grid, avec une atten­tion par­ti­c­ulière portée au con­trôle, à la récolte et à la trans­mis­sion des données.

Tester un système de surveillance

Plus pré­cisé­ment, le pro­jet SO-grid fut démar­ré pour tester un sys­tème de sur­veil­lance (mon­i­tor­ing), col­lecter et analyser des don­nées du réseau, dont la com­mu­ni­ca­tion repose sur la tech­nolo­gie CPL. Au lieu de déploy­er un réseau de com­mu­ni­ca­tion par­al­lèle au réseau de dis­tri­b­u­tion (solu­tion coû­teuse), ou d’utiliser des modal­ités de com­mu­ni­ca­tion sans fil (GPRS, Edge, 3G/4G) (solu­tion non sécurisée), la com­mu­ni­ca­tion CPL com­bine les fréquences de dis­tri­b­u­tion avec celles de com­mu­ni­ca­tion sur les mêmes câbles. Ces fréquences étant très dif­férentes, nous pou­vons les dis­tinguer en util­isant l’analyse de Fourier.

Dans le reste de cet arti­cle, nous allons nous con­cen­tr­er sur une tâche par­ti­c­ulière que nous avons menée au sein du pro­jet SO-grid : le place­ment opti­mal des cap­teurs dans un réseau élec­trique. Pour des raisons de vul­gar­i­sa­tion, nous avons fait abstrac­tion de cer­tains détails tech­niques qui sont expliqués en pro­fondeur dans deux arti­cles sci­en­tifiques [3, 4].

Gus­tav Kirch­hoff a établi une loi qui dit que la somme des courants entrant et sor­tant des arêtes adja­centes à un som­met don­né est zéro.

Méthodes mathématiques

La sci­ence des déci­sions est une dis­ci­pline à la fron­tière des math­é­ma­tiques appliquées, de l’informatique et de l’ingénierie. Une branche de cette sci­ence, qui s’appelle recherche opéra­tionnelle (RO), s’occupe du développe­ment des mod­èles math­é­ma­tiques pour la prise automa­tique de déci­sions à par­tir d’une suite de don­nées d’entrée. Les mod­èles de la RO con­sis­tent en un objec­tif (à min­imiser ou max­imiser) et en un ensem­ble de con­traintes (à sat­is­faire), qui lim­i­tent l’extension des opti­ma de la fonc­tion de coût. Les fonc­tions math­é­ma­tiques impliquées dans l’objectif et les con­traintes sont exprimées en fonc­tion de cer­taines vari­ables appelées vari­ables de déci­sion. Nous util­isons des algo­rithmes pour iden­ti­fi­er, dans l’ensemble de toutes les valeurs des vari­ables de déci­sion qui sat­is­font les con­traintes, celles qui opti­misent l’objectif. En ter­mes de nota­tion math­é­ma­tique, nous avons :

opt{f(x) | quel que soit i ≤ m gi(x) ≤ 0} (1)

L’opérateur opt peut être soit « min » ou « max » selon la direc­tion d’optimisation de la fonc­tion objec­tive, qui est f(x). Les vari­ables de déci­sion sont représen­tées par le vecteur x = (x1, …, xn). Le reste de la phrase formelle en Éq. (1) sig­ni­fie que « pour tous les indices i plus petits que m nous imposons les con­traintes que les fonc­tions gi(x) atteignent une valeur non-positive ».
En résumé : les dimen­sions du prob­lème sont don­nées (nous prenons n déci­sions assu­jet­ties à m con­traintes), et nous cher­chons à affecter des valeurs à x telles que gi(x) ≤ 0 pour tout i ≤ m, et f(x) est opti­misée. L’Éq. (1) s’appelle une for­mu­la­tion de pro­gram­ma­tion math­é­ma­tique. Nous pou­vons trans­former la grande majorité des prob­lèmes de déci­sion intéres­sants en pra­tique et les représen­ter sous la forme de l’Éq. (1). Une fois for­mulé, le prob­lème doit être résolu. Nous cher­chons des solu­tions par l’utilisation de cer­tains algo­rithmes appelés solveurs. L’efficacité et la pré­ci­sion des solveurs dépen­dent de plusieurs fac­teurs dont le prin­ci­pal est la linéar­ité ou la non-linéar­ité des fonc­tions f(x) et gi(x) pour tout i ≤ m. Un autre fac­teur déter­mi­nant est la taille du prob­lème (n, m, ain­si que la longueur des descrip­tions des fonctions).

Cal­cul des ten­sions et courants.

Formalisation du problème

Le prob­lème à résoudre dans le cadre du pro­jet SO-grid est le suiv­ant : étant don­né un réseau, où faudrait-il plac­er les cap­teurs afin de pou­voir mesur­er la ten­sion et le courant dans tout le réseau, et de telle sorte que le nom­bre de cap­teurs soit le plus petit pos­si­ble ? La fonc­tion de coût est donc le nom­bre de cap­teurs, et la con­trainte est que ce nom­bre réduit de cap­teurs doit pou­voir assur­er l’observabilité de la ten­sion en tout nœud et du courant sur chaque lien du réseau. Le pre­mier pas a été de pro­pos­er une for­mal­i­sa­tion math­é­ma­tique de ce prob­lème, selon les principes énon­cés. Nous avons mod­élisé le réseau avec un graphe G = (V,E) (où V est l’ensemble des som­mets représen­tant les nœuds et E l’ensemble des arêtes cor­re­spon­dant aux liens, que nous allons sup­pos­er non ori­en­tés). Nous avons util­isé la loi d’Ohm pour réduire le prob­lème à l’observabilité de la ten­sion en chaque som­met. Nous avons affec­té une vari­able de déci­sion booléenne à chaque som­met, qui prend la valeur 1 si nous instal­lons un cap­teur sur ce som­met, et 0 dans le cas contraire.

Propagation de l’observabilité

La loi de Kirch­hoff, une loi fon­da­men­tale de l’électricité, peut égale­ment être prise en compte. Cette loi dit que la somme des courants entrant et sor­tant des arêtes adja­centes à un som­met don­né est zéro. La con­séquence sur l’observabilité des ten­sions aux som­mets, par la loi d’Ohm, est sur­prenante : si nous con­nais­sons la ten­sion à un som­met don­né ain­si que celle de tous ses som­mets adja­cents sauf un, alors nous pou­vons facile­ment cal­culer la ten­sion en ce dernier som­met sans devoir la mesur­er directe­ment. Après cette opéra­tion, nous pou­vons encore véri­fi­er si d’autres sit­u­a­tions sim­i­laires ont été créées grâce aux nou­velles ten­sions cal­culées. Si de telles sit­u­a­tions exis­tent, nous cal­cu­lons les ten­sions aux som­mets cor­re­spon­dants. Nous con­sta­tons donc que cette opéra­tion se répète jusqu’à l’épuisement des oppor­tu­nités. Pour illus­tr­er ce proces­sus de prop­a­ga­tion de l’observabilité don­né par un posi­tion­nement de cap­teurs, con­sid­érons l’exemple suiv­ant (voir shé­ma page 52). Le cap­teur, dont le nom tech­nique est Pha­sor Mea­sure­ment Unit (PMU), est instal­lé sur le som­met 6 en direc­tion du câble représen­té par l’arête {1, 6}. Ce PMU mesure la ten­sion au som­met 6 et le courant sur l’arête {1, 6}. Par la loi d’Ohm nous déduisons la ten­sion au som­met 1. Main­tenant nous sommes dans la sit­u­a­tion évo­quée précédem­ment : nous con­nais­sons la ten­sion au som­met 1, et toutes les ten­sions aux som­mets adja­cents sauf une, i.e. celle du som­met 6 mais pas du som­met 2. En util­isant la loi de Kirch­hoff et ensuite celle d’Ohm, nous pou­vons cal­culer égale­ment la ten­sion au som­met 2. Il en est de même pour l’arête {4, 6} et le som­met 4. L’observabilité se « propage » ain­si à tra­vers le graphe : nous con­nais­sons la ten­sion aux som­mets 1, 2 et 4, nous pou­vons donc la cal­culer au som­met 3. Le lecteur pour­ra facile­ment véri­fi­er que nous pou­vons observ­er toutes les ten­sions et tous les courants du réseau à par­tir de l’installation d’un seul PMU sur le som­met 6 le long du câble {1, 6}.

“Nous disposons d’outils logiciels très avancés,
qui permettent la résolution de problèmes de taille considérable
en temps limité”

Dynamique de l’observabilité

Il est donc clair que l’observabilité est un proces­sus dynamique : à chaque étape, nous véri­fions s’il existe un som­met dont sa ten­sion et celles de ses som­mets adja­cents sont con­nues, à l’exception d’une seule. Nous cal­cu­lons alors cette ten­sion. Cette nou­velle obser­va­tion peut engen­dr­er d’autres pos­si­bil­ités sim­i­laires. Le proces­sus s’achève lorsqu’il n’y a plus de pareilles sit­u­a­tions. À ce point, nous con­trôlons si la ten­sion est con­nue à tous les som­mets. Si tel n’est pas le cas, un PMU sup­plé­men­taire doit être instal­lé pour observ­er d’autres ten­sions à de nou­veaux som­mets, et le proces­sus est réitéré. Pour for­muler un pro­gramme math­é­ma­tique qui décrive cor­recte­ment ce proces­sus, il faudrait ajouter des vari­ables de déci­sion : à la place d’avoir une vari­able booléenne par som­met, nous aurons besoin d’une vari­able par som­met et par pas de temps (qui sert à décrire le proces­sus dynamique). Nous obtenons alors une for­mu­la­tion valide, mais avec beau­coup de vari­ables pour pou­voir la résoudre dans des délais accept­a­bles. Une solu­tion à cette dif­fi­culté s’obtient en con­sid­érant qu’une fois observé, tout som­met reste observé : nous dis­ons alors que la dynamique de l’observabilité est monot­o­ne. Une théorie due à Tars­ki nous assure alors qu’il y a un plus petit point fixe unique de cette dynamique. Nous avons démon­tré que ce point fixe cor­re­spond à l’ensemble des som­mets observés lorsque le proces­sus dynamique arrive à ter­mi­nai­son. En général, un point fixe y d’une fonc­tion φ sat­is­fait l’équation :

φ (y) = y, (2)

dite de point fixe. Mod­élis­er le point ter­mi­nal de la dynamique de l’observabilité avec un point fixe nous per­met de ne plus index­er les vari­ables de déci­sion par pas de temps : il nous suf­fit de définir une vari­able booléenne par som­met. Nous dérivons donc une nou­velle for­mu­la­tion basée sur l’Éq. (2). Cepen­dant cette for­mu­la­tion est non-linéaire, car elle intè­gre deux min­imi­sa­tions imbriquées : celle pour la réduc­tion du nom­bre des PMU instal­lés, et celle pour l’obtention du plus petit point fixe. Une fois encore, cette nou­velle for­mu­la­tion est trop dif­fi­cile à résoudre. Heureuse­ment, nous pou­vons obtenir une for­mu­la­tion où toutes les fonc­tions sont linéaires, avec un seul opéra­teur de min­imi­sa­tion, et un nom­bre lim­ité de vari­ables. Ces types de prob­lèmes restent NP-dif­fi­ciles, mais en pra­tique nous dis­posons d’outils logi­ciels très avancés, qui per­me­t­tent la réso­lu­tion de prob­lèmes de taille con­sid­érable en temps limité.


Références

[1] Bien­stock (D.), Elec­tri­cal Trans­mis­sion Sys­tem Cas­cades and Vul­ner­a­bil­i­ty : an Oper­a­tions Research View­point, Num­ber 22 in MOS-SIAM Opti­miza­tion, SIAM, Philadel­phia, 2016.

[2] King (R.), « Infor­ma­tion ser­vices for smart grids », in Pow­er and Ener­gy Soci­ety Gen­er­al Meet­ing, vol­ume 2008, Pis­cat­away, 1–5. IEEE.

[3] Poiri­on (P.-L.), Touba­line (S.), D’Ambrosio (C.), and Lib­er­ti (L.), « The pow­er edge set prob­lem », Net­works, 68(2):104–120, 2016.

[4] Poiri­on (P.-L.), Touba­line (S.), D’Ambrosio (C.), and Lib­er­ti (L.), « Algo­rithms and appli­ca­tions for a class of bilevel MILPs », Dis­crete Applied Math­e­mat­ics, April 2018.

[5] Zavala (V.), Con­stan­ti­nes­cu (E.) and Anites­cu (M.), « Eco­nom­ic impacts of advanced weath­er fore­cast­ing on ener­gy sys­tem oper­a­tions », in Pow­er and Ener­gy Soci­ety : Con­fer­ence on Inno­v­a­tive Smart Grid Tech­nol­o­gy, pages 1–8, Pis­cat­away, 2010, IEEE.

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