J.-P. Bourguignon (X66) : Il est temps de stopper l’hémorragie mathématique

Ces dernières décen­nies les math­é­ma­tiques ont con­tin­ué leur développe­ment spec­tac­u­laire et con­nu une explo­sion de leurs champs d’application. Aujourd’hui le monde économique exprime un besoin immense de math­é­mati­ciens. La France occupe une place de choix dans la réponse à ces besoins, mais cette posi­tion est men­acée. Si dans notre pays la recherche est tou­jours au plus haut niveau, l’affaiblissement de l’investissement dans la for­ma­tion tant supérieure que pri­maire et sec­ondaire risque fort de com­pro­met­tre l’avenir. 

Pour répon­dre à la ques­tion des nou­veaux besoins en math­é­ma­tiques, il est indis­pensable de con­naître la sit­u­a­tion des math­é­ma­tiques en elles-mêmes et leur rap­port actuel et futur à la société. 

Un impact accru des mathématiques

Dans « 100 ans de math­é­ma­tiques » – ma con­tri­bu­tion au livre Les poly­tech­ni­ciens dans le siè­cle 1894–1994 pub­lié sous la direc­tion de Jacques Lesourne (X48) pour le bicen­te­naire de l’École poly­tech­nique –, je dis­cute le développe­ment excep­tion­nel qu’ont con­nu les math­é­ma­tiques au XX^e siè­cle, tant en elles-mêmes que par la var­iété et l’intensité de leurs inter­ac­tions et de leurs usages.

Dans les trente dernières années, avec le développe­ment mas­sif de la col­lecte et de l’analyse des don­nées, avec les nou­velles capac­ités de mod­éli­sa­tion per­mis­es par l’énorme crois­sance de la puis­sance de cal­cul disponible, la réduc­tion de son coût et l’universalité de son acces­si­bil­ité, l’impact accru des math­é­ma­tiques décrit dans cet arti­cle a pris une nou­velle dimen­sion, avec des con­séquences majeures qu’il con­vient d’analyser dans leur diver­sité en iden­ti­fi­ant les exi­gences qui en découlent. Je voudrais dis­cuter cette ques­tion sous trois angles : le con­tenu thé­ma­tique, les besoins de for­ma­tion et l’organisation de la recherche.

Les thématiques actuelles

Com­mençons par le con­tenu thé­ma­tique. Le dévelop­pement de la dis­ci­pline en silos, qui avait dom­iné son explo­sion des années 1940 à 1960, a été bat­tu en brèche par les développe­ments des vingt dernières années, avec de mul­ti­ples fer­til­i­sa­tions croisées entre branch­es math­é­ma­tiques, mais aus­si sous l’influence d’interactions avec d’autres dis­ci­plines et de prob­lé­ma­tiques extérieures. Il est donc devenu une évi­dence à beau­coup de math­é­mati­ciens qu’il leur reve­nait de défendre l’unité des math­é­ma­tiques, nom­bre d’applications s’inspirant et util­isant des résul­tats de par­ties plus fon­da­men­tales, et quelque­fois de façon assez inat­ten­due. C’est un effet de la sérendip­ité, qui fait que de nou­veaux con­cepts ont un impact bien au-delà du domaine où ils nais­sent. Vu la pro­fu­sion de nou­veaux résul­tats dans de nom­breuses par­ties des math­é­ma­tiques, je me con­cen­tr­erai ici sur les ten­dances lour­des faisant évoluer l’architecture générale de la dis­ci­pline. 

L’explosion de la théorie des probabilités

Dans la péri­ode récente, la théorie des prob­a­bil­ités a con­nu des développe­ments impor­tants et une recon­nais­sance au plus haut niveau : dans les vingt dernières années, pas moins de trois médailles Fields ont récom­pen­sé des prob­a­bilistes – dont deux Français, Wen­delin Wern­er et Hugo Duminil-Copin –, attes­tant de la très haute qual­ité de l’école française. Des approches prob­a­bilistes se sont dévelop­pées aus­si bien en analyse, avec des pro­grès impor­tants dans les équa­tions aux dérivées par­tielles sto­chas­tiques, qu’en géométrie, avec les march­es aléa­toires dans les groupes et l’importance prise par la théorie ergodique.

L’influence de l’informatique

Le développe­ment con­sid­érable de l’informatique, domaine d’interaction des math­é­ma­tiques par excel­lence, a stim­ulé de nom­breuses recherch­es en com­bi­na­toire. Cela a con­tribué à mieux con­sid­ér­er des objets dis­crets (par oppo­si­tion à con­ti­nus) et aus­si moins réguliers. C’est le cas notam­ment des espaces irréguliers comme la Toile, où l’on peut définir une notion de dis­tance avec des pro­priétés min­i­males comme l’existence de plus courts chemins entre deux points quel­con­ques. 

La place main­tenant cen­trale que la col­lecte et l’analyse de don­nées ont prise dans de nom­breux champs de la con­nais­sance a évidem­ment eu un impact sur le développe­ment des math­é­ma­tiques per­ti­nentes pour leur traite­ment. Cela résulte du change­ment assez rad­i­cal du par­a­digme sous-ten­dant l’intelligence arti­fi­cielle (IA), qui s’appuie de plus en plus sur des approches sto­chas­tiques appliquées à de vastes ensem­bles de don­nées qui fondent l’apprentissage automa­tique (machine learn­ing). Les impacts de l’IA atten­dus dans le monde indus­triel – on par­le d’industrie 4.0, voire 5.0 –, mais aus­si dans beau­coup d’aspects de la vie quoti­­dienne, relèvent mas­sive­ment de développe­ments mathématiques.

La révolution de la génomique

Le champ sta­tis­tique a donc acquis un rôle accru dans les math­é­ma­tiques, quelque­fois en leur emprun­tant des out­ils récents comme les réseaux de neu­rones. On doit aus­si not­er l’importance qu’y a prise l’approche bayési­enne, longtemps sous-représen­tée en France ; des efforts nota­bles restent à faire dans cette direc­tion. 

Cette place plus grande des sta­tis­tiques est aus­si due à l’intensification des rela­tions entre math­é­mati­ciens et biol­o­gistes, après la révo­lu­tion de leur dis­ci­pline liée à l’identification du rôle de l’ADN. Une autre dimen­sion vient de la place cen­trale des développe­ments de la biolo­gie en « ‑omique » – comme la génomique. Cela a ren­du néces­saire la con­sid­éra­tion d’objets dis­crets d’une grande com­plex­ité par leur con­for­ma­tion géométrique, dont la com­préhen­sion sera essen­tielle dans la médecine de demain.

Les nouvelles possibilités de modélisation

Dans les derniers trente ans, la puis­sance de cal­cul – on par­le de HPC pour High Per­for­mance Com­put­ing – a crû mas­sive­ment. Cela a don­né une impul­sion for­mi­da­ble à la mod­éli­sa­tion et à la sim­u­la­tion. Au-delà de la pos­si­bil­ité de faire des cal­culs plus pré­cis, des domaines jusqu’alors inac­ces­si­bles à une approche math­é­ma­tisée ont pu être abordés.

Il ne s’agit pas seule­ment de la taille, et donc du réal­isme, des mod­èles mais aus­si de la vitesse à laque­lle les cal­culs ou les sim­u­la­tions peu­vent être menés à bien. Cela va, dans cer­tains cas, jusqu’à pou­voir inter­venir en temps réel dans des sit­u­a­tions com­plex­es, grâce à l’accès général­isé à des out­ils de cal­cul puis­sants – pensez à ce que peut faire votre télé­phone portable ! Un des effets est le pro­grès spec­tac­u­laire dans le traite­ment des images et des sons, autant pour leur cap­ta­tion que pour leur com­pres­sion en vue de leur trans­mis­sion. Ces pos­si­bil­ités jouent un rôle con­sid­érable dans la place prise par les images dans nos sociétés.

Venons-en main­tenant aux besoins de for­ma­tion en dis­tin­guant les niveaux avancés et de base, car la façon de les abor­der dif­fère beaucoup.

La formation avancée en mathématiques

Con­sid­érons d’abord la for­ma­tion avancée en math­é­ma­tiques. La var­iété des inter­ac­tions des math­é­ma­tiques ayant crû de façon sig­ni­fica­tive, il con­vient que, suff­isam­ment tôt dans leur appren­tis­sage de la dis­ci­pline, un grand nom­bre d’étudiants et d’étudiantes soient con­fron­tés à la façon dont elles con­tribuent à d’autres sci­ences et à d’autres domaines d’activité. L’objectif est de leur faire percevoir les dif­férents proces­sus par lesquels l’approche mathé­matique se révèle féconde. L’implication pré­coce dans des pro­jets de nature académique ou dans un environ­nement indus­triel ou de ser­vices doit pren­dre une place plus grande dans la for­ma­tion que par le passé. Cela va de pair avec la néces­sité de don­ner aux étu­di­ants et étu­di­antes une réelle autonomie par leur maîtrise d’outils infor­ma­tiques, tant logi­ciels que de programmation.

Prendre en compte les besoins de l’économie

Un des nou­veaux défis de la for­ma­tion avancée est la crois­sance de la demande du secteur économique, les grandes entre­pris­es comme les PME – ce qui est nou­veau – pour des étu­di­ants et étu­di­antes ayant une maîtrise des out­ils de l’IA et de la mod­éli­sa­tion. Beau­coup de chefs d’entreprise savent qu’une mod­i­fi­ca­tion des pro­fils de leur per­son­nel dans cette direc­tion con­di­tionne la réus­site des tran­si­tions tant énergé­tique qu’en matière d’IA. Cela se traduit par beau­coup plus de recrute­ments de diplômés de mas­ters à dom­i­nante math­é­ma­tique, une des caus­es de la dif­fi­culté de recruter des pro­fesseurs de math­é­ma­tiques dans l’enseignement secondaire.

“La discipline a perdu 8 % de ses postes universitaires, quand le nombre des étudiants augmentait de 20 %.”

Avec la meilleure offre salar­i­ale du secteur privé, cela présente le risque de voir un nom­bre sig­ni­fi­catif des meilleurs étu­di­ants se détourn­er de la pré­pa­ra­tion d’un doc­tor­at. Celui-ci acquis, le prob­lème demeure : les débuts de car­rière académique tou­jours peu rémunérés – mal­gré les pro­grès de la loi de pro­gram­ma­tion pluri­an­nuelle sur la recherche –, et les recrute­ments tardifs sur des postes sta­bles peu­vent être des repoussoirs.

Dans les derniers dix ans, la dis­ci­pline a en effet per­du 8 % de ses postes uni­ver­si­taires, quand le nom­bre des étu­di­ants aug­men­tait de 20 %. La sit­u­a­tion est dev­enue cri­tique : le nom­bre de postes à pour­voir en math­é­ma­tiques doit croître rapi­de­ment. Une prise de con­science de la grav­ité de cette sit­u­a­tion au niveau poli­tique est indis­pens­able alors que la France est encore vue, à l’échelle inter­na­tionale, comme un pays majeur de la dis­ci­pline, comme l’atteste le nom­bre de con­trats du Con­seil européen de la recherche obtenus en France. 

L’expérience de « Mathématiques A Venir » en 1987

En 1987, la com­mu­nauté math­é­ma­tique tout entière s’était mobil­isée en organ­isant le col­loque « Math­é­ma­tiques A Venir » à l’X sur une sug­ges­tion et avec le sou­tien de Bernard Esam­bert (X54), alors prési­dent du con­seil d’administration, que j’avais alerté. Ce fut la pre­mière col­lab­o­ra­tion de la Société math­é­ma­tique de France et de la Société de math­é­ma­tiques appliquées et indus­trielles, nou­velle­ment fondée. L’objectif était de faire le point sur l’évolution de la dis­ci­pline, mais surtout de tir­er le sig­nal d’alarme devant l’affaiblissement de la com­posante uni­ver­si­taire après une dizaine d’années de con­fis­ca­tion des postes vacants en math­é­ma­tiques pour dévelop­per l’informatique naissante.

Dès 1988, la créa­tion d’une direc­tion math­é­ma­tique à la Direc­tion de la recherche et des études doc­tor­ales du min­istère sig­nifi­ait que le mes­sage avait été reçu. A suivi un retour rapi­de des postes qui avaient été, d’une cer­taine façon, con­fisqués. Cela a fait des années 1990 une péri­ode floris­sante pour les math­é­ma­tiques français­es, sym­bol­isée par les médailles Fields de Jean-Christophe Yoc­coz et de Pierre-Louis Lions.

Les assises des mathématiques de 2022

En 2022, pour pré­par­er et organ­is­er les assis­es des math­é­ma­tiques, une autre approche a été suiv­ie. C’est l’Institut nation­al des sci­ences math­é­ma­tiques et de leurs inter­ac­tions du CNRS qui les a mis­es sur pied avec quelques parte­naires insti­tu­tion­nels. Des groupes de tra­vail ont pré­paré des rap­ports sub­stantiels – disponibles sur le site des assis­es – notam­ment sur l’impact des math­é­ma­tiques sur la vie économique, estimé à 15 % de l’activité avec plus de 3 mil­lions d’emplois à la clé. Des études en Grande-Bre­tagne et aux Pays-Bas ont don­né des chiffres sim­i­laires, et la ten­dance est claire­ment crois­sante. 

La formation de base en mathématiques

Venons-en main­tenant à la for­ma­tion de base. Il va de soi que la présence général­isée de savoirs math­é­ma­tiques fon­da­men­taux dans la vie quo­ti­di­enne et dans les activ­ités économiques exige qu’acquérir des con­nais­sances de base soit un objec­tif à attein­dre pour toute la pop­u­la­tion, une con­di­tion de sa par­tic­i­pa­tion infor­mée à la vie col­lec­tive. 

Mal­heureuse­ment, les sig­naux que don­nent les enquêtes inter­na­tionales PISA (pro­gramme inter­na­tion­al pour le suivi des acquis des élèves) ou TIMSS (Trends in Math­e­mat­ics and Sci­ence Study) récentes ne sont pas bons, la France échouant à per­me­t­tre l’acquisition des con­nais­sances de base pour une large par­tie de la pop­u­la­tion. La grande dif­fi­culté à recruter des pro­fesseurs des écoles ayant un socle solide de con­nais­sances en sci­ences, et en par­ti­c­uli­er en math­é­ma­tiques, est à ce pro­pos une grande source d’inquiétude. Un plan ambitieux pour redress­er la sit­u­a­tion est indis­pens­able. Le min­istre affirme qu’il va le met­tre en place. C’est une urgence absolue. Le recrute­ment de pro­fesseurs de math­é­ma­tiques du sec­ondaire est aus­si prob­lé­ma­tique avec, depuis plusieurs années, moins de can­di­dats et de can­di­dates que de postes à pourvoir.

L’aberrante réforme du lycée 

C’est dans ce con­texte qu’est arrivée la réforme du lycée, dimin­u­ant en pre­mières et ter­mi­nales dras­tique­ment l’exposition aux math­é­ma­tiques d’un grand nom­bre d’élèves, avec un impact par­ti­c­uli­er sur les filles – moins de 36 % de filles gar­dent un par­cours de maths de 6 h ou plus en ter­mi­nale, con­tre 47,5 % en 2019 ! Con­va­in­cre plus de jeunes filles qu’elles peu­vent faire des études de math­é­ma­tiques avec suc­cès est pour­tant un impératif absolu. Peu de réformes ont eu un effet aus­si con­sid­érable en si peu de temps, et dans ce cas dans une direc­tion tout à fait erronée – en 2021, 130 000 élèves suiv­ent trois enseigne­ments sci­en­tifiques en pre­mière, comme dans l’ancienne pre­mière S ; ils étaient 200 000 avant la réforme. Un non-sens ! 

Par­mi les per­son­nes qui se sont exprimées publique­ment pour dénon­cer le péril majeur que la réforme crée, on trou­ve de nom­breux chefs d’entreprise, pré­cisé­ment pour les raisons exposées précédem­ment, à savoir les besoins gran­dis­sants de per­son­nes à l’aise avec les math­é­ma­tiques, sans par­ler du plus grand nom­bre de spé­cial­istes à embauch­er. 

Un col­lec­tif regroupant un grand nom­bre d’associations sci­en­tifiques et pro­fes­sion­nelles a fait un tra­vail en pro­fondeur pour doc­u­menter les effets de la réforme et faire des propo­si­tions pour redress­er la sit­u­a­tion d’urgence. Le min­istère sem­ble buté sur une atti­tude refu­sant de voir que la struc­ture même de la réforme est en cause. Les mesures cos­mé­tiques con­sis­tant à réin­tro­duire une dose min­i­male de math­é­ma­tiques en pre­mière ne résoudront rien, voire aggraveront la sit­u­a­tion, comme l’a dénon­cé le collectif.

L’organisation de la recherche mathématique

La mod­i­fi­ca­tion de l’organisation de la recherche qui s’impose est déjà bien entamée. Beau­coup d’institutions ont com­pris la néces­sité de sor­tir d’une poli­tique de silos et de dévelop­per plus d’interdisciplinarité impli­quant des math­é­mati­ciens. J’ai déjà souligné la néces­sité de pré­par­er les étu­di­ants tôt dans leur cur­sus à ce type d’échanges. Un des développe­ments nou­veaux est le fait qu’un cer­tain nom­bre d’entreprises, spé­ciale­ment dans les Gafa, ont créé des équipes de recherche en math­é­ma­tiques en lais­sant plus de lib­erté, qu’il est usuel dans le monde des entre­pris­es, à leurs chercheurs. Un défi à la recherche publique.

Une grande cause nationale

Devant le défi de ren­dre la France – pays recon­nu pour son exper­tise en math­é­ma­tiques – en mesure de con­tribuer aux nou­veaux développe­ments et de répon­dre au besoin pres­sant d’avoir une pop­u­la­tion capa­ble d’évoluer con­fort­able­ment dans une société où les math­é­ma­tiques jouent un rôle très mul­ti­va­lent, un plan de grande ampleur s’impose. C’était l’ambition des assis­es des math­é­ma­tiques 2022. Comme le dis­ait une députée lors d’une des tables ron­des, vu son impor­tance et la var­iété des actions à men­er, cette bataille doit devenir une grande cause nationale, au-delà de la com­mu­nauté math­é­ma­tique. 

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