Mathématiques, technologie, Delano Durand : itinéraire d’une involution

Si l’on désigne par tech­nolo­gie l’ensemble des tech­niques que les sci­ences math­é­ma­tiques de la nature ont per­mis d’imaginer et de dévelop­per, la tech­nolo­gie est, par essence, dépen­dante des math­é­ma­tiques. En sens inverse, les per­for­mances tech­nologiques ne cessent de con­firmer que les math­é­ma­tiques, aus­si ésotériques puis­sent-elles devenir, captent quelque chose de la vérité du monde. Mal­gré ces liens récipro­ques, une oppo­si­tion d’esprit existe : quand la tech­nolo­gie per­met de dis­pos­er du monde, les vérités math­é­ma­tiques sont par excel­lence ce dont on ne dis­pose pas.

Le mot tech­nolo­gie, qui a d’abord désigné en français un réper­toire de ter­mes tech­niques pro­pres à un cer­tain domaine, ou une sci­ence des tech­niques, a eu ten­dance au cours des dernières décen­nies à devenir un syn­onyme de tech­nique. Plutôt que de dénon­cer cet emploi comme angli­cisme, il serait préférable de met­tre à prof­it le dou­blet tech­nique-tech­nolo­gie afin d’opérer une dis­tinc­tion entre deux types de tech­niques. D’une part, les tech­niques au sens de savoir-faire élaborés dans la con­fronta­tion directe avec la matière et trans­mis de généra­tion en généra­tion ; d’autre part les tech­nolo­gies, désig­nant des dis­posi­tifs dont la con­cep­tion et la fab­ri­ca­tion seraient inimag­in­ables sans le logos sci­en­tifique mod­erne, sans les sci­ences math­é­ma­tiques de la nature. La tech­nique est vieille comme l’humanité, la tech­nolo­gie prend son véri­ta­ble essor en Europe au XIX^e siècle.

Les liens entre technologie et mathématiques

Ain­si définie, la tech­nolo­gie est par essence dépen­dante des math­é­ma­tiques. Cepen­dant, les liens entre les deux instances ne sont pas uni­vo­ques : les math­é­ma­tiques dépen­dent aus­si, à cer­tains égards, de la tech­nolo­gie. On sait à quel point les sci­ences math­é­ma­tiques de la nature n’ont cessé, depuis le XVII^e siè­cle, de stim­uler la réflex­ion et les inves­ti­ga­tions dans de nom­breux domaines des math­é­ma­tiques. Les sci­ences math­é­ma­tiques de la nature étant elles-mêmes stim­ulées, de façon récur­rente, par des ques­tions tech­nologiques, la dynamique tech­nologique n’est pas sans effet sur le développe­ment des math­é­ma­tiques. C’est cepen­dant sur deux autres points, moins évi­dents, que nous souhai­te­ri­ons attir­er l’attention.

La « crise des fondements »

À par­tir du XIX^e siè­cle apparurent et se mul­ti­plièrent, en math­é­ma­tiques, notions et objets si éloignés des intu­itions com­munes, voire les con­tre­dis­ant, qu’une ques­tion nou­velle émergea : quel fonde­ment don­ner aux math­é­ma­tiques ? Georg Can­tor par exem­ple, ayant démon­tré que l’on pou­vait établir une cor­re­spon­dance terme à terme entre les points d’un car­ré et les points d’un de ses côtés, écrivait à son col­lègue Richard Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas » (en français dans le texte). Autrement dit : quel crédit accorder à un raison­nement math­é­ma­tique quand son résul­tat vient démen­tir ce qui, à Can­tor, con­tin­u­ait de paraître évi­dent – à savoir qu’il y a « trop » de points dans une sur­face pour une cor­re­spon­dance terme à terme avec les points d’un segment ?

La solution axiomatique

Les ten­ta­tives pour retrou­ver un sol ferme con­duisirent aux théories axioma­tiques, qui présen­tent les math­é­ma­tiques comme un sys­tème fondé sur un ensem­ble restreint d’axiomes, à par­tir desquels toutes les propo­si­tions doivent être déduites, selon des règles d’inférence elles-mêmes spé­ci­fiées par les axiomes. Deux points sont ici à soulign­er. Pre­mière­ment, quoique dans une théorie axioma­tique les résul­tats soient déduits des axiomes, dans la pra­tique les axiomes ont été choi­sis de manière à ce qu’il soit pos­si­ble de recon­stru­ire, à par­tir d’eux, les math­é­ma­tiques déjà con­sti­tuées. Deux­ième­ment, quoique dans une théorie axioma­tique les règles de déduc­tion se présen­tent sous un aspect pure­ment formel, ce qui se trou­ve for­mal­isé est en accord avec des principes logiques élé­men­taires, de sorte que les math­é­mati­ciens n’ont en général aucun lieu de se souci­er, dans leurs travaux, de la con­for­mité de leurs argu­ments à ce qu’autorisent et pre­scrivent les axiomes.

Gödel et Bourbaki…

Pour ras­sur­ante qu’elle soit, la refon­da­tion axioma­tique des math­é­ma­tiques ne donne pas toutes les garanties, dans la mesure où, comme l’a établi Gödel, la cohérence d’une théorie formelle inclu­ant l’arithmétique n’est pas démon­tra­ble à l’intérieur de ladite théorie. C’est-à-dire qu’il est impos­si­ble d’être apo­d­ic­tique­ment sûr que les axiomes ne per­me­t­tent pas de démon­tr­er à la fois une propo­si­tion et sa néga­tion. À défaut demeure la con­fi­ance qu’il est raisonnable d’accorder à une théorie où, à l’usage, aucune con­tra­dic­tion n’a été décelée – au point que, selon le mot du logi­cien Georg Kreisel, les doutes quant à la cohérence devi­en­nent plus dou­teux que la cohérence elle-même.

Il y a de cela un demi-siè­cle, le col­lec­tif Bour­ba­ki écrivait dans son intro­duc­tion à la théorie des ensem­bles : « Depuis cinquante ans qu’on a for­mulé avec assez de pré­ci­sion les axiomes de la théorie des ensem­bles et qu’on s’est appliqué à en tir­er des con­séquences dans les domaines les plus var­iés des math­é­ma­tiques, on n’a jamais ren­con­tré de con­tra­dic­tion, et on est fondé à espér­er qu’il ne s’en pro­duira jamais. S’il en était autrement, c’est que la con­tra­dic­tion observée serait inhérente aux principes mêmes qu’on a mis à la base de cette théorie ; ceux-ci seraient donc à mod­i­fi­er, sans com­pro­met­tre si pos­si­ble les par­ties de la math­é­ma­tique aux­quelles on tient le plus. »

… et Wittgenstein

Comme on voit, ce ne sont pas les axiomes qui com­man­dent les math­é­ma­tiques, ce sont les math­é­ma­tiques qui com­man­dent le choix des axiomes. Des axiomes dont, par ailleurs, l’immense majorité des math­é­mati­ciens ne se soucient jamais, suff­isam­ment per­suadés qu’ils sont de la con­sis­tance du champ qui est le leur et de la valid­ité des raison­nements qu’ils y déploient. Wittgen­stein remar­quait : « Si une con­tra­dic­tion était vrai­ment trou­vée au sein de l’arithmétique, cela prou­verait seule­ment qu’une arith­mé­tique con­tenant une telle con­tra­dic­tion peut ren­dre d’excellents ser­vices ; et il vau­dra mieux pour nous mod­i­fi­er ce que nous récla­m­ons en guise de cer­ti­tude, que de con­sid­ér­er que ce n’était pas encore vrai­ment une bonne arithmétique. »

Il n’est certes pas mau­vais de dis­pos­er, quelque part, d’axiomes aux­quels on pour­rait le cas échéant ren­voy­er un pinailleur qui met­trait en cause le bien-fondé de l’édifice ; quant à s’y référ­er effec­tive­ment, cela paraî­trait aus­si pénible qu’inutile. Mais alors, d’où vient l’assurance des math­é­mati­ciens, quand ils trait­ent de notions et d’objets qui out­repassent ce que le sens com­mun est à même de con­cevoir ? De la con­fi­ance en leurs démarch­es de pen­sée, certes, mais aus­si de la per­ma­nente con­fir­ma­tion de per­ti­nence qu’apportent, à leur dis­ci­pline, les suc­cès des sci­ences math­é­ma­tiques de la nature et les per­for­mances technologiques.

La technologie comme garant

Con­sid­érons la physique quan­tique. Avec son avène­ment, « l’image de l’univers selon les sci­ences de la nature cesse d’être, à pro­pre­ment par­ler, l’image de l’univers selon les sci­ences de la nature », écrivait Heisen­berg. De fait, il n’y a plus d’image ! Plus exacte­ment, quelle que soit l’image de la nature for­mée à par­tir de notre expéri­ence sen­si­ble, cette image, con­fron­tée aux réal­ités quan­tiques, se révèle fausse. « Peut-être pas tout à fait aus­si dénuée de sens qu’un “cer­cle tri­an­gu­laire”, mais beau­coup plus qu’un “lion ailé” », dis­ait Schrödinger.

C’est ain­si : seules les math­é­ma­tiques font « tenir » l’édifice quan­tique (ce pourquoi la physique quan­tique se révèle, par essence, aus­si « invul­gar­is­able » que le sont les math­é­ma­tiques). Qu’est-ce qui assure que cet édi­fice n’est pas une fan­tas­magorie ? Des expéri­ences de lab­o­ra­toire, sans doute. Mais, de ces expéri­ences, seuls des spé­cial­istes ont con­nais­sance. En revanche, tout un cha­cun fait aujourd’hui quo­ti­di­en­nement l’expérience du car­ac­tère non fan­tas­magorique de la théorie, en usant de dis­posi­tifs et d’appareils qu’il aurait été impos­si­ble de con­cevoir et d’élaborer sans elle.

La tech­nolo­gie vient donc, en per­ma­nence, con­firmer que les math­é­ma­tiques, dont on aurait pu crain­dre qu’en s’éloignant des intu­itions com­munes elles devinssent un vain jeu de l’esprit, pénètrent au con­traire quelque chose du mys­tère du monde. Ce qu’on a appelé, pour les math­é­ma­tiques, la « crise des fonde­ments », n’a pas reçu de réponse pleine­ment sat­is­faisante. Cela étant, la tech­nolo­gie en rel­a­tivise sin­gulière­ment l’importance.

Du sensible à l’intelligible, et retour

Le rôle de la tech­nolo­gie vis-à-vis des math­é­ma­tiques ne s’arrête pas là. Elle touche aus­si à leur statut. Dans un cadre pythagori­co-pla­toni­cien, les math­é­ma­tiques jouis­saient d’un grand pres­tige, en tant qu’elles appre­naient à l’âme à se détach­er du sen­si­ble pour se tourn­er vers l’intelligible. « On cul­tive [la géométrie] pour con­naître ce qui est tou­jours, et non ce qui, à un moment don­né, naît et périt. […] Elle est donc pro­pre à tir­er l’âme vers la vérité et à faire naître l’esprit philosophique, qui élève nos regards vers les choses d’en haut, au lieu de les tourn­er, comme nous faisons, vers les choses d’ici-bas », dit le Socrate de Platon.

“Nos sociétés initient la jeunesse aux mathématiques non par souci spirituel, mais parce que celles-ci irriguent la science et la technologie.”

Dans un cadre mod­erne, les ver­tus des mathéma­tiques sont plutôt « descen­dantes » : à par­tir du moment où l’univers est cen­sé être écrit en car­ac­tères math­é­ma­tiques (Galilée) ou que les math­é­ma­tiques sont la forme que doit pren­dre une con­nais­sance du monde procé­dant d’idées claires et dis­tinctes (Descartes), les math­é­ma­tiques se présen­tent comme ce qui doit per­me­t­tre à l’intellect de se saisir du sen­si­ble. Pour com­pren­dre son ordon­nance­ment, par la sci­ence, mais aus­si pour le trans­former, par la tech­nolo­gie. Bien enten­du, il est tou­jours pos­si­ble de cul­tiv­er les math­é­ma­tiques pour elles-mêmes. Reste que, pour se con­sacr­er aux math­é­ma­tiques, il faut y avoir été ini­tié, et que nos sociétés ini­tient la jeunesse aux math­é­ma­tiques non par souci spir­ituel, mais parce que celles-ci, out­re que leur pra­tique, qui con­tribue à ordon­ner la pen­sée et développe l’aptitude au raison­nement, irriguent la sci­ence et la tech­nolo­gie. 

Double jeu

Simone Weil a assisté à quelques-unes des pre­mières réu­nions de tra­vail du groupe Bour­ba­ki, dont son frère André était mem­bre fon­da­teur. D’évidence, ces math­é­mati­ciens ne se préoc­cu­paient nulle­ment de ce qu’on appelle les appli­ca­tions. Pour autant, il ne sem­blait pas à Simone Weil que l’énergie qu’elle leur voy­ait déploy­er au ser­vice de la math­é­ma­tique la plus pure eût été la même dans un monde où les math­é­ma­tiques n’auraient existé que pour elles-mêmes. Elle avait l’impression que tout en s’enorgueillissant de leur indif­férence aux inci­dences pra­tiques, ils prof­i­taient quand même du pres­tige que la puis­sance tech­nologique con­fère aux mathématiques. 

D’où ce con­stat : « Ils jouis­sent ain­si de deux avan­tages en réal­ité incom­pat­i­bles, mais com­pat­i­bles dans l’illusion ; ce qui est tou­jours une sit­u­a­tion extrême­ment agréable. […] Ils ne se ren­dent pas compte que dans la con­cep­tion actuelle de la sci­ence, si l’on retranche les appli­ca­tions tech­niques, il ne reste plus rien qui soit sus­cep­ti­ble d’être regardé comme un bien. […] Sans la tech­nique, per­son­ne aujourd’hui dans le pub­lic ne s’intéresserait à la sci­ence ; et, si le pub­lic ne s’intéressait pas à la sci­ence, ceux qui suiv­ent une car­rière sci­en­tifique en auraient choisi une autre. Ils n’ont pas le droit à l’attitude de détache­ment qu’ils assu­ment. Mais quoiqu’elle ne soit pas légitime, elle est un stimulant. »

Efficience et vérité éternelle

Résumons : la tech­nolo­gie n’existerait pas sans les math­é­ma­tiques dont, en retour, elle con­firme la con­sis­tance et aux­quelles elle con­fère l’intérêt et le pres­tige attachés à la puis­sance. Les choses, cepen­dant, ne s’arrêtent pas là. Les math­é­ma­tiques en effet, tout en ali­men­tant la tech­nolo­gie, met­tent des bornes à la men­tal­ité tech­nologique. Les tech­niques, note Jean-François Lyotard, « obéis­sent à un principe, celui de l’optimisation des per­for­mances : aug­men­ta­tion de l’output (infor­ma­tions ou mod­i­fi­ca­tions obtenues), diminu­tion de l’input (énergie dépen­sée) pour les obtenir. Ce sont donc des jeux dont la per­ti­nence n’est ni le vrai, ni le juste, ni le beau, etc., mais l’efficient : un “coup” tech­nique est “bon” quand il fait mieux et/ou quand il dépense moins qu’un autre. » À ce prag­ma­tisme inté­gral, la math­é­ma­tique oppose ses vérités éter­nelles. À la men­tal­ité tech­nologique, qui entend met­tre le monde à notre dis­po­si­tion, elle oppose la résis­tance infinie de son logos.

Le monde selon Delano Durand

Peut-être, au demeu­rant, est-ce en rai­son du démen­ti rad­i­cal que les math­é­ma­tiques appor­tent à la toute-puis­sance de la volon­té qu’elles ont de plus en plus de mal à être cor­recte­ment enseignées, à des indi­vidus de plus en plus immergés dans ce que Christo­pher Lasch a appelé la cul­ture du nar­cis­sisme. Avec cette con­séquence : l’illusion de toute-puis­sance indi­vidu­elle, flat­tée par la tech­nolo­gie – le bou­ton que l’on pousse, l’écran que l’on caresse, le joy­stick que l’on manie – rend de moins en moins sup­port­able la dis­ci­pline de l’esprit imposée par les math­é­ma­tiques, sans lesquelles pour­tant la tech­nolo­gie est inconcevable.

“L’illusion de toute-puissance individuelle, flattée par la technologie rend de moins en moins supportable la discipline de l’esprit imposée par les mathématiques, sans lesquelles pourtant la technologie est inconcevable.”

Pareille invo­lu­tion est l’une des brèch­es par laque­lle l’eau s’engouffre dans la coque mal en point de l’Occident. Voie d’eau bien repérée par Houelle­becq dans son roman Anéan­tir, où l’on voit la DGSI faire appel, dans son enquête sur trois atten­tats mys­térieux, à un cer­tain Delano Durand, ancien hack­er qui, en tant que dig­i­tal native, est cen­sé éclair­er ses col­lègues plus âgés.

La pre­mière chose que relève Durand, c’est que les trois points de la carte où les atten­tats ont eu lieu peu­vent être reliés par un cer­cle. Un com­mis­saire, la cinquan­taine, s’étonne : « Ce n’est pas tou­jours le cas ? » Durand regarde son inter­locu­teur avec com­miséra­tion. « Non, naturelle­ment non, dit-il finale­ment. Par deux points quel­con­ques, on peut tou­jours faire pass­er un cer­cle ; mais ce n’est en général pas le cas des ensem­bles de trois points : une petite minorité seule­ment peu­vent fig­ur­er sur la cir­con­férence d’un même cer­cle, doté d’un cen­tre défini. »

Il serait intéres­sant de con­naître la pro­por­tion de lecteurs que cette asser­tion a fait sur­sauter. Car s’il y a quelqu’un qui devrait être con­sid­éré avec com­miséra­tion, c’est bien ce Durand : par trois points dis­tincts du plan passe tou­jours un cer­cle, excep­té dans le cas très par­ti­c­uli­er où les trois points sont alignés. (Et par trois points dis­tincts de la sur­face ter­restre, assim­ilée à une sphère, passe tou­jours un cer­cle, inter­sec­tion du plan défi­ni par les trois points et de la sphère). Cette pro­priété élé­men­taire, le com­mis­saire l’avait plus ou moins en mémoire. Mais, impres­sion­né qu’il est par l’assurance du jeune Durand, le dig­i­tal immi­grant bat en retraite. Pour­tant, avec une mul­ti­tude d’ignares pré­ten­tieux à la Delano Durand pour l’entretenir, une civil­i­sa­tion tech­nologique ne peut que se déglinguer, aller vers son anéan­tisse­ment. 

Références

• N. Bour­ba­ki, Théorie des ensem­bles, Paris, Her­mann, 1970, Intro­duc­tion E I.13.
• Lud­wig Wittgen­stein, Remarks on the Foun­da­tions of Math­e­mat­ics, G.H. von Wright, R. Rhees, G.E.M. Anscombe (éd.). Oxford, Basil Black­well, 1964.
• Wern­er Heisen­berg, La Nature dans la physique con­tem­po­raine [1955], trad. Ugné Karvelis et A.E. Leroy, Paris, Gal­li­mard, coll. « Idées », 1962.
• Erwin Schrödinger, Sci­ence et human­isme. La physique de notre temps [1951], trad. Jean Ladrière, dans Physique quan­tique et représen­ta­tion du monde, Paris, Le Seuil, coll. « Points sciences ».
• Pla­ton, République, livre VII.
• Simone Weil, L’Enracinement [1943], Paris, Flam­mar­i­on, coll. « Champs clas­siques », 2014.
• Jean-François Lyotard, La Con­di­tion post­mod­erne, Paris, édi­tions de Minu­it, coll. « Cri­tique », 1979.
• Michel Houelle­becq, Anéan­tir, Paris, Flam­mar­i­on, 2022.

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