Récréations scientifiques d’octobre 2022

1. Puissances anglaises

On définit une suite d’entiers par t₀ = 3, t_n+1 = 3^tn (3 élevé à la puis­sance t_n).

a/ Quels sont les deux derniers chiffres de t₃ (en écri­t­ure déci­male) ? Ses trois derniers chiffres ?

b/ Mon­trez que pour k > 10, les t_k ont les mêmes dix derniers chiffres.

2. Centres et barycentre

Quel est l’isobarycentre des qua­tre cen­tres des cer­cles inscrit et exin­scrits d’un triangle ?

3. Progression rationnelle

q est un nom­bre réel, et il existe 3 entiers posi­tifs dis­tincts tels que q + a, q + b, q + c forment
une pro­gres­sion géométrique.

Mon­trez que q est rationnel.

> Solu­tions

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