Récréations scientifiques de novembre 2022

1. Où va la perle ?

Une boucle cir­cu­laire (ray­on R) de fil de fer tourne à la vitesse con­stante ω autour de son diamètre ver­ti­cal Oy. Une per­le (masse m) y est enfilée, sans frot­te­ment. Déter­min­er ses posi­tions d’équilibre et leurs stabilités.

2. Carrés à rallonge

a/ On con­sid­ère la suite 49, 4489, 444889, …, où chaque terme est obtenu en insérant 48 au milieu du précé­dent. Mon­tr­er que tous les ter­mes sont des car­rés, et déter­min­er la suite des racines de ces carrés.

b/ Si N s’écrit avec m chiffres 9, quelle est la somme des chiffres de son carré ?

3. Solution unique

Pour a < 1, la fonc­tion ax est décrois­sante, ce qui garan­tit que l’équation ax = x a une solu­tion unique. Existe-t-il une valeur de a > 1 telle que l’équation ax = x ait une solu­tion unique ?

> Solu­tions des récréa­tions sci­en­tifiques de novem­bre 2022

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