Histoire de l’enseignement de la mécanique à l’École polytechnique

Histoire de l’enseignement de la mécanique à l’École polytechnique

Dossier : La mécaniqueMagazine N°752 Février 2020
Par Frédéric BRECHENMACHER

Pré­sent depuis la créa­tion de l’École poly­tech­nique, l’enseignement de la méca­nique s’y est long­temps tenu en équi­libre instable entre véri­tés mathé­ma­tiques et uti­li­tés des machines, théo­ri­sa­tion et expé­ri­men­ta­tion phy­sique. La place de la méca­nique dans l’histoire de l’X témoigne ain­si de l’identité spé­ci­fique d’une école à l’interface
entre indus­trie, ingé­nie­rie et recherche.

À la fon­da­tion de l’X en 1794, l’analyse mathé­ma­tique et la méca­nique sont confiées au même « ins­ti­tu­teur », Joseph Louis Lagrange. Joseph Fou­rier, comme ins­ti­tu­teur adjoint, s’il démontre le théo­rème des puis­sances vir­tuelles dans le cadre du pro­gramme théo­rique de Lagrange, le fait pour le cours d’analyse de Gas­pard de Pro­ny, un ingé­nieur des Ponts qui tient au concret. Les deux dis­ci­plines sont tem­po­rai­re­ment attri­buées à des ensei­gnants dif­fé­rents, de 1799 à 1816, avant d’être à nou­veau regrou­pées dans les cours d’André-Marie Ampère et Augus­tin Louis Cau­chy (1805). Dans les années 1830, l’enseignement de la méca­nique est cri­ti­qué pour sa mathé­ma­ti­sa­tion exces­sive qui, pour d’anciens pro­fes­seurs de méca­nique comme Siméon Denis Pois­son (1798), rend les élèves inca­pables de pas­ser de la théo­rie aux appli­ca­tions. À par­tir de 1850, il est rap­pro­ché d’enseignements plus appli­qués tels que le cours de machines et influen­cé par le modèle de la phy­sique expérimentale.


REPÈRES

Dès 1794, la méca­nique par­ti­cipe du pro­jet de créer un ensei­gne­ment scien­ti­fique plu­ri­dis­ci­pli­naire fon­dé sur l’attribution d’un rôle pré­do­mi­nant aux sciences mathé­ma­tiques. Selon le plan conçu par Gas­pard Monge, l’instruction des mathé­ma­tiques se sub­di­vise en deux branches prin­ci­pales : la géo­mé­trie, ou étude des formes, avec ses appli­ca­tions à la sté­réo­to­mie, l’architecture ou les for­ti­fi­ca­tions, et l’analyse, ou étude du mou­ve­ment, très orien­tée vers des appli­ca­tions à la méca­nique, conçue comme science de l’équilibre, l’hydrostatique ou la théo­rie des machines. 


Mais la proxi­mi­té entre méca­nique et ana­lyse per­du­re­ra encore plu­sieurs décen­nies. Au tour­nant des XIXe et XXe siècles, des fonc­tions de répé­ti­teur ou pro­fes­seur de méca­nique sont ain­si occu­pées par des mathé­ma­ti­ciens tels que Charles Ange Lai­sant (1859) ou Paul Appell. Il n’est d’ailleurs pas rare qu’un ensei­gnant passe d’un domaine à l’autre. Par exemple, Jean Marie Constant Duha­mel (1814) rem­place pro­vi­soi­re­ment en 1830 Gus­tave Gas­pard Corio­lis (1808) au poste de répé­ti­teur d’analyse et de méca­nique, avant d’être nom­mé répé­ti­teur d’analyse appli­quée en 1831, puis de rem­pla­cer en 1836 Hen­ri Navier (1802) à la chaire de méca­nique. Encore en 1883, Émile Sar­rau (1857) est nom­mé pro­fes­seur de méca­nique après avoir offi­cié comme répé­ti­teur d’analyse…

L’esprit analytique dans l’approche de la mécanique

Mal­gré sa cohé­rence, le plan d’étude de Monge est remis en cause dès 1795 avec la créa­tion du sys­tème des écoles d’application qui incite l’École à se concen­trer sur une for­ma­tion géné­ra­liste. Cette réor­ga­ni­sa­tion donne une place crois­sante à l’analyse, donc à la méca­nique, qui, à défaut d’être aus­si direc­te­ment appli­cable que la géo­mé­trie de Monge, est sus­cep­tible d’une plus grande diver­si­té d’applications du fait de son carac­tère plus abs­trait. Le « plus haut point de vue » d’un ensei­gne­ment fon­da­men­tal doit désor­mais pré­cé­der les appli­ca­tions. Cela vaut même pour la notion de tra­vail en méca­nique issue des tra­vaux de Lazare Carnot.

Cette nou­velle concep­tion doit beau­coup à l’influence de l’un des grands mathé­ma­ti­ciens et méca­ni­ciens de l’époque, Pierre Simon Laplace. Nom­mé exa­mi­na­teur en 1795, ce der­nier exerce un grand pou­voir sur l’École en contrô­lant les exi­gences des concours d’entrée et de sor­tie. Sur­tout, Laplace allie pres­tige aca­dé­mique et pou­voir poli­tique : briè­ve­ment ministre de l’Intérieur – alors tutelle de Poly­tech­nique – sous le Consu­lat, puis séna­teur, il met en place le conseil de per­fec­tion­ne­ment en 1799 pour opé­rer la jonc­tion entre les corps, l’Académie des sciences et l’École poly­tech­nique, soit entre l’industrie, l’ingénierie et la recherche. Pour les cours d’analyse et de méca­nique, la volon­té est de tou­jours être à la pointe. Cau­chy, dont le cours d’analyse de 1821 recè­le­ra les der­nières prouesses ana­ly­tiques, obtien­dra son poste pour cette rai­son précise.

Fourier remplace Lagrange

Si l’esprit ana­ly­tique règne alors, avec le trai­te­ment des équa­tions, le jeu sur les fonc­tions, etc., il ne fau­drait pas don­ner une image idyl­lique de ce renou­veau mathé­ma­tique. Lagrange entend for­ma­li­ser le cal­cul dif­fé­ren­tiel et inté­gral à par­tir d’une concep­tion algé­brique mais ne per­met pas l’accès à tous les outils qu’attendent les appli­ca­tions à la méca­nique. Les notes de cours prises en 1797 par Jean Legen­til (1795), étu­diées récem­ment par Adrien Dufour (2011) et Sté­phane Horte (2011) dans le cadre de l’enseignement d’histoire des sciences pro­po­sé par le dépar­te­ment HSS, témoignent de ce que les cours réel­le­ment dis­pen­sés par Lagrange sont bien moins théo­riques que leur publi­ca­tion dans la Théo­rie des fonc­tions ana­ly­tiques de 1797.

Chaque leçon est asso­ciée à un pro­blème pré­cis, le mou­ve­ment d’un pro­jec­tile dans un milieu résis­tant per­met­tant par exemple d’introduire des pro­prié­tés com­plexes d’analyse et d’addition des forces. Mais rien n’y fait : le cours de Lagrange ne passe pas. Son adjoint Fou­rier est alors char­gé de pro­duire un cours de remplacement.

“La mécanique irrigue en profondeur l’analyse mathématique.”

La structuration de l’enseignement de l’analyse

Les cours de l’X sont la pre­mière véri­table struc­tu­ra­tion de l’enseignement de l’analyse, branche des mathé­matiques déve­lop­pée au XVIIIe siècle avec l’essor de la méca­nique new­to­nienne. Le cal­cul dif­fé­ren­tiel est au cœur de la théo­rie de New­ton : il sert à en énon­cer les lois et per­met d’en prou­ver l’efficacité pour mathé­ma­ti­ser les mou­ve­ments des corps, en astro­no­mie comme en artille­rie ou dans la théo­rie des machines de l’industrie émer­gente. L’inauguration de ce cours pose donc le défi d’enseigner une science récente, en pleine évo­lu­tion, qui n’était jusqu’alors maî­tri­sée que par les savants les plus avancés.

Ce défi péda­go­gique amène à repen­ser les fon­de­ments de l’analyse. Il fait naître de nou­veaux idéaux de rigueur afin de pré­sen­ter aux élèves des cours fon­dés sur des notions pré­cises par oppo­si­tion à cer­tains concepts contro­ver­sés, comme les « infi­ni­ment petits ». De 1794 à 1830, le cours d’analyse four­nit l’un des pre­miers exemples d’enseignement étroi­te­ment asso­cié à la recherche d’une solide archi­tec­ture per­met­tant de consti­tuer une dis­ci­pline. Moins de trente ans après Lagrange, Cau­chy refonde l’analyse sur le concept de limites et de fonc­tions conti­nues, tout comme aujourd’hui.

Autonomie des mathématiques et de la mécanique

Cette struc­tu­ra­tion de l’analyse joue un rôle impor­tant dans l’autonomisation réci­proque des mathé­ma­tiques et de la méca­nique. Il n’est notam­ment plus ques­tion de recou­rir à des concep­tions méca­niques du mou­ve­ment, telles que les fluxions de New­ton, pour envi­sa­ger la conti­nui­té ou les varia­tions. Mais, à y regar­der de plus près, la méca­nique irrigue en pro­fon­deur l’analyse mathé­ma­tique. Dans son cours de géo­mé­trie ana­ly­tique, Cau­chy pro­pose ain­si de déter­mi­ner les axes prin­ci­paux des coniques et qua­driques selon la méthode éla­bo­rée par Lagrange pour carac­té­ri­ser la sta­bi­li­té méca­nique des petites oscil­la­tions d’un sys­tème de corps.

Cette méthode avait notam­ment été uti­li­sée par Laplace pour démon­trer la sta­bi­li­té du sys­tème du monde, c’est-à-dire des oscil­la­tions non pério­diques des orbites des pla­nètes du sys­tème solaire. Elle consiste à linéa­ri­ser le pro­blème en le mathé­ma­ti­sant par un sys­tème d’équations dif­fé­ren­tielles linéaires à coef­fi­cients constants dont Lagrange déter­mine les oscil­la­tions propres (nous dirions aujourd’hui valeurs propres).

Analyse et mécanique

La même méthode fonc­tionne pour les sur­faces du second degré en rai­son de la nature qua­dra­tique des deux pro­blèmes, méca­niques et géo­mé­trique, qui impliquent de dia­go­na­li­ser une matrice symé­trique. Mais, bien avant la for­ma­li­sa­tion de l’algèbre linéaire, c’est l’analogie méca­nique qui ins­pire Cau­chy. La pos­si­bi­li­té d’envisager les oscil­la­tions d’un nombre quel­conque n de corps lui per­met d’explorer la géo­mé­trie à n dimen­sions… puis d’appliquer en retour ses méthodes géo­mé­triques à la méca­nique : ellip­soïdes de pres­sion en théo­rie de l’élasticité, petites oscil­la­tions de « par­ti­cules lumineuses »…

Cette inti­mi­té poly­technicienne entre ana­lyse et méca­nique se retrou­ve­ra encore beau­coup plus tard chez Hen­ri Poin­ca­ré (1873), aus­si bien dans le rôle joué par les cônes de lumière dans son approche de la rela­ti­vi­té que dans sa stra­té­gie de linéa­ri­sa­tion du pro­blème des trois corps en méca­nique céleste, qui reprend la méthode des petites oscil­la­tions de Lagrange mais cette fois pour faire oscil­ler le sys­tème dif­fé­ren­tiel lui-même.


La roue hydraulique de Poncelet

Dans le cadre de leur ensei­gne­ment d’histoire des sciences, Laurent Guin (2011) et Leo­nel Pau­ro Velás­quez (2011) ont étu­dié la roue hydrau­lique à aubes courbes conçue par Pon­ce­let en 1823 dans le cadre d’une mis­sion d’amélioration d’une forge à puis­sance hydrau­lique à l’arsenal de Metz. Cette « roue de Pon­ce­let » offre des ren­de­ments doubles de ceux des roues à aubes planes alors uti­li­sées. Sa concep­tion est fon­dée sur le prin­cipe des « forces vives », prin­ci­pal concept de la théo­rie des machines : un « bilan de force vive », c’est-à-dire de l’énergie entre le point où l’eau entre dans la roue et le point d’où elle en sort, per­met à Pon­ce­let de mathé­ma­ti­ser le tra­vail utile récu­pé­rable par une expres­sion dif­fé­ren­tielle dépen­dant de deux para­mètres, l’angle d’attaque du fluide sur la plan­chette, d’une part, l’angle d’orientation de la plan­chette par rap­port à la direc­tion de trans­la­tion d’autre part.

Opti­mi­ser le tra­vail utile revient alors à mini­mi­ser ces deux angles : il faut donc s’approcher d’une attaque tan­gen­tielle de l’eau sur les aubes et d’une grande incli­nai­son des aubes par rap­port aux rayons. D’où l’idée de construire des roues à aubes courbes incli­nées. Contrai­re­ment à la tur­bine d’Euler res­tée au stade de pro­to­type, ces roues seront lar­ge­ment exploi­tées en France à par­tir de 1827. Le modèle mathé­ma­tique de Pon­ce­let sera néan­moins cri­ti­qué par Corio­lis dès 1829 pour avoir igno­ré les tur­bu­lences engen­drées par l’écoulement de l’eau dans le canal.


Cours de méca­nique appli­quée aux machines, Pon­ce­let, Litho­gra­phie de l’École d’application de l’artillerie
et du génie, 1838.
Cal­culs de Pon­ce­let sur sa roue après des expé­riences de Morin.Manuscrit sur le ver­so d’un faire-part,
pos­té­rieur à 1846.

L’autonomisation de la mécanique

En 1850, une com­mis­sion inter­mi­nis­té­rielle abri­tant en son sein des noms illustres de la méca­nique céleste, tel Urbain Le Ver­rier (1833), comme de la méca­nique appli­quée, tel Jean Vic­tor Pon­ce­let (1807), pro­meut un ensei­gnement de la méca­nique davan­tage empi­rique et utile. Un objec­tif majeur est de faire béné­fi­cier l’enseignement des machines du pou­voir uni­fi­ca­teur de la théo­rie. La pro­li­fé­ra­tion de dis­po­si­tifs méca­niques qui accom­pagne l’industrialisation euro­péenne rend en effet obso­lète l’approche des­crip­tive des machines qui avait été déve­lop­pée depuis 1794 par l’usage du des­sin géo­mé­trique. Sur le plan théo­rique, le cours de Jean Bap­tiste Belan­ger (1808) donne ain­si à par­tir de 1851 la pri­mau­té à la ciné­ma­tique au détri­ment de la sta­tique qui, depuis Lagrange, Pro­ny ou Louis Poin­sot (1794), consti­tuait le fon­de­ment de l’enseignement de la méca­nique, jusqu’alors conçue comme science de l’équilibre.

L’évolution des prin­cipes de la méca­nique ration­nelle en tant que dis­ci­pline est alors mar­quée par son arti­cu­la­tion avec la phy­sique, modèle de science expé­ri­men­tale alter­na­tif à celui des mathé­ma­tiques. Cette évo­lu­tion a fait l’objet de plu­sieurs tra­vaux de recherche d’élèves. Emma­nuel Orsi­ni (2012) a ain­si étu­dié la place attri­buée au concept d’éther – long­temps conçu comme un milieu élas­tique dont les vibra­tions expli­quaient la théo­rie de la lumière – bien après l’expérience de Michel­son-Mor­ley de 1887, jusque dans les der­nières édi­tions des cours de Pain­le­vé et Léon Lecor­nu (1872) en 1926–1927. Oli­vier Gau­thé (2011), Xavier Bon­ne­tain (2011), Yoann Des­mou­ceaux (2011) et Sébas­tien Gee­raert (2011) ont, quant à eux, étu­dié l’émergence de l’enseignement de la méca­nique quan­tique à l’École poly­tech­nique à par­tir de 1938 au sein des cours de phy­sique de Louis Leprince-Rin­guet (1920N) et André Léau­té (1902).

Entre pratique et théorie : le dessin

La créa­tion de l’École poly­tech­nique s’est accom­pa­gnée de l’idéal de conce­voir une nou­velle méthode d’ensei­gnement visant à favo­ri­ser l’activité des élèves qui « doivent non seule­ment com­prendre, mais exé­cu­ter avec pré­ci­sion ». Des labo­ra­toires sont éta­blis pour l’enseignement de la chi­mie, ain­si que des col­lec­tions d’instruments pour celui de la phy­sique. La méca­nique se trou­vant du côté des mathé­ma­tiques, l’activité des élèves n’y est pas ini­tia­le­ment pro­mue par l’expéri­mentation mais par l’exécution de tra­vaux gra­phiques à l’aide de modèles. La pra­tique du des­sin géo­mé­trique occupe long­temps une place consi­dé­rable dans l’emploi du temps des élèves et les pro­blèmes méca­niques y jouent un rôle essentiel.

Par exemple, les tra­jec­toires des points de contact de deux engre­nages engendrent des courbes à double cour­bure dont l’étude gagne à com­bi­ner cal­cul dif­fé­ren­tiel et des­sin géo­mé­trique. Il s’agit non seule­ment de décrire des machines – com­pé­tences dont un cer­tain nombre de poly­tech­ni­ciens feront usage pour espion­ner l’industrie bri­tan­nique – mais aus­si de conce­voir des inno­va­tions mécaniques.

La mécanique dans les collections d’instruments de l’École polytechnique

Pro­bable consé­quence de sa proxi­mi­té avec les mathé­ma­tiques, la méca­nique est long­temps res­tée absente des col­lec­tions d’instruments scien­ti­fiques anciens de l’École : si de nom­breux ins­tru­ments sont fon­dés sur des dis­po­si­tifs méca­niques, rares sont ceux qui ont été conçus pour l’enseignement de la méca­nique en tant que tel. Ce n’est que très récem­ment, à l’occasion de l’inauguration du Mus’X en juin 2018, que le TreX de méca­nique a ver­sé à la biblio­thèque un ensemble d’instruments ayant ser­vi à l’enseignement expé­ri­men­tal de la méca­nique au XXe siècle. Par­mi cette col­lec­tion du TreX de méca­nique, citons l’herpolhodographe conçu par Gas­ton Dar­boux et Gabriel Koe­nigs et pré­sen­té à l’Exposition uni­ver­selle de Paris de 1900. Cet ins­tru­ment per­met de tra­cer des her­pol­ho­dies ou courbes engen­drées par le mou­ve­ment à la Poin­sot d’un corps en rota­tion sur un plan fixe. L’usage de tels ins­tru­ments pour l’enseignement de la méca­nique au XXe siècle reste encore trop peu connu et appelle de nou­veaux tra­vaux de recherche dans les col­lec­tions his­to­riques : avis aux volon­taires, par­mi les élèves comme par­mi les anciens ! 


Ressources

Kons­tan­ti­nos Chat­zis, « Méca­nique ration­nelle et méca­nique des machines à l’École poly­tech­nique, 1800–1860 », dans Amy Dahan Dal­me­di­co, Bru­no Bel­hoste et Antoine Picon (éd.), La for­ma­tion poly­tech­ni­cienne : 1794–1994, Paris, Dunod, 1994, p. 95–108.

2 Commentaires

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MOREAU (pro­mo 58)répondre
3 février 2020 à 20 h 27 min

Bon­jour Mon­sieur, J’ai lu avec beau­coup d’in­té­rêt votre article. Je ne suis pas par­ti­cu­liè­re­ment un méca­ni­cien ou un mathé­ma­ti­cien puisque après l’X je suis entré au CNRS puis dans un centre de recherche phar­ma­ceu­tique. Mais une ques­tion qui m’a­vait tra­cas­sé jadis est reve­nue à mon esprit récem­ment : Com­ment arrive-t-on à (ou aux) l’é­qua­tion de Lagrange ? Le Force = masse X accé­lé­ra­tion de New­ton me semble cor­res­pondre assez natu­rel­le­ment à notre intui­tion : en lan­gage ordi­naire si on pousse sur un objet d’une cer­taine masse de plus en plus fort, il pren­dra de plus en plus de la vitesse, donc pour­quoi ne pas essayer la for­mu­la­tion Force = masse X accé­lé­ra­tion ? Quand j’é­tais élève j’a­vais ache­té un livre inti­tu­lé Méca­nique de Lan­do et Lif­schitz, et je l’ai repris récem­ment : ils éta­blissent cette équa­tion pour un point maté­riel en mou­ve­ment sous l’ef­fet de forces en appli­quant le prin­cipe de moindre action, qui dit que l’ac­tion entre deux points de la tra­jec­toire est extrê­male ; très bien, mais pour­quoi faut-il croire ça, com­ment a‑t-on l’in­tui­tion que cette idée d’ex­tré­mum pour­rait être une bonne idée ? per­son­nel­le­ment je ne sens pas ça ; mon sens phy­sique ne sent pas ça. J’ai cher­ché des articles sur le web (anglais ou fran­çais) mais nulle part je n’ai trou­vé ce que je cherche. Pour l’ins­tant ce prin­cipe de moindre action et l’u­sage qu’on en fait qui conduit à l’é­qua­tion de Lagrange me semble comme un dogme ; ça me rap­pelle la réponse d’un ami pro­fes­seur à L’u­ni­ver­si­té de Bor­deaux à qui je deman­dais un jour « com­ment intro­duis-tu l’é­qua­tion de Schroe­din­ger H.Psi = E.Psi à tes élèves ?”, sa réponse fut « je leur dis que c’est comme ça ». Si vous avez une bonne lec­ture mer­ci de me com­mu­ni­quer la réfé­rence. Très cordialement.

robert.ranquet.1972répondre
4 février 2020 à 10 h 41 min
– En réponse à: MOREAU (promo 58)

Cher cama­rade,

mer­ci pour cette réac­tion. De fait, la ques­tion de la rela­tion entre intui­tion et for­mu­la­tion d’une théo­rie est pas­sion­nante. Et que dire alors du carac­tère « intui­tif » de la méca­nique vue par la rela­ti­vi­té géné­rale, toute de géo­mé­trie ? Et je ne parle même pas de la « méca­nique » quan­tique … J’ai trans­mis ta ques­tion aux auteurs pour qu’ils te répondent avec compétence.

Robert Ran­quet
Rédac­teur en chef

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