Histoire de l’enseignement de la mécanique à l’École polytechnique

Présent depuis la créa­tion de l’École poly­tech­nique, l’enseignement de la mécanique s’y est longtemps tenu en équili­bre insta­ble entre vérités math­é­ma­tiques et util­ités des machines, théori­sa­tion et expéri­men­ta­tion physique. La place de la mécanique dans l’histoire de l’X témoigne ain­si de l’identité spé­ci­fique d’une école à l’interface
entre indus­trie, ingénierie et recherche.

À la fon­da­tion de l’X en 1794, l’analyse math­é­ma­tique et la mécanique sont con­fiées au même « insti­tu­teur », Joseph Louis Lagrange. Joseph Fouri­er, comme insti­tu­teur adjoint, s’il démon­tre le théorème des puis­sances virtuelles dans le cadre du pro­gramme théorique de Lagrange, le fait pour le cours d’analyse de Gas­pard de Prony, un ingénieur des Ponts qui tient au con­cret. Les deux dis­ci­plines sont tem­po­raire­ment attribuées à des enseignants dif­férents, de 1799 à 1816, avant d’être à nou­veau regroupées dans les cours d’André-Marie Ampère et Augustin Louis Cauchy (1805). Dans les années 1830, l’enseignement de la mécanique est cri­tiqué pour sa math­é­ma­ti­sa­tion exces­sive qui, pour d’anciens pro­fesseurs de mécanique comme Siméon Denis Pois­son (1798), rend les élèves inca­pables de pass­er de la théorie aux appli­ca­tions. À par­tir de 1850, il est rap­proché d’enseignements plus appliqués tels que le cours de machines et influ­encé par le mod­èle de la physique expérimentale.

REPÈRES

Dès 1794, la mécanique par­ticipe du pro­jet de créer un enseigne­ment sci­en­tifique pluridis­ci­plinaire fondé sur l’attribution d’un rôle pré­dom­i­nant aux sci­ences math­é­ma­tiques. Selon le plan conçu par Gas­pard Mon­ge, l’instruction des math­é­ma­tiques se sub­di­vise en deux branch­es prin­ci­pales : la géométrie, ou étude des formes, avec ses appli­ca­tions à la stéréo­tomie, l’architecture ou les for­ti­fi­ca­tions, et l’analyse, ou étude du mou­ve­ment, très ori­en­tée vers des appli­ca­tions à la mécanique, conçue comme sci­ence de l’équilibre, l’hydrostatique ou la théorie des machines. 

Mais la prox­im­ité entre mécanique et analyse per­dur­era encore plusieurs décen­nies. Au tour­nant des XIX^e et XX^e siè­cles, des fonc­tions de répéti­teur ou pro­fesseur de mécanique sont ain­si occupées par des math­é­mati­ciens tels que Charles Ange Laisant (1859) ou Paul Appell. Il n’est d’ailleurs pas rare qu’un enseignant passe d’un domaine à l’autre. Par exem­ple, Jean Marie Con­stant Duhamel (1814) rem­place pro­vi­soire­ment en 1830 Gus­tave Gas­pard Cori­o­lis (1808) au poste de répéti­teur d’analyse et de mécanique, avant d’être nom­mé répéti­teur d’analyse appliquée en 1831, puis de rem­plac­er en 1836 Hen­ri Navier (1802) à la chaire de mécanique. Encore en 1883, Émile Sar­rau (1857) est nom­mé pro­fesseur de mécanique après avoir offi­cié comme répéti­teur d’analyse…

L’esprit analytique dans l’approche de la mécanique

Mal­gré sa cohérence, le plan d’étude de Mon­ge est remis en cause dès 1795 avec la créa­tion du sys­tème des écoles d’application qui incite l’École à se con­cen­tr­er sur une for­ma­tion général­iste. Cette réor­gan­i­sa­tion donne une place crois­sante à l’analyse, donc à la mécanique, qui, à défaut d’être aus­si directe­ment applic­a­ble que la géométrie de Mon­ge, est sus­cep­ti­ble d’une plus grande diver­sité d’applications du fait de son car­ac­tère plus abstrait. Le « plus haut point de vue » d’un enseigne­ment fon­da­men­tal doit désor­mais précéder les appli­ca­tions. Cela vaut même pour la notion de tra­vail en mécanique issue des travaux de Lazare Carnot.

Cette nou­velle con­cep­tion doit beau­coup à l’influence de l’un des grands math­é­mati­ciens et mécani­ciens de l’époque, Pierre Simon Laplace. Nom­mé exam­i­na­teur en 1795, ce dernier exerce un grand pou­voir sur l’École en con­trôlant les exi­gences des con­cours d’entrée et de sor­tie. Surtout, Laplace allie pres­tige académique et pou­voir poli­tique : briève­ment min­istre de l’Intérieur – alors tutelle de Poly­tech­nique – sous le Con­sulat, puis séna­teur, il met en place le con­seil de per­fec­tion­nement en 1799 pour opér­er la jonc­tion entre les corps, l’Académie des sci­ences et l’École poly­tech­nique, soit entre l’industrie, l’ingénierie et la recherche. Pour les cours d’analyse et de mécanique, la volon­té est de tou­jours être à la pointe. Cauchy, dont le cours d’analyse de 1821 recèlera les dernières prouess­es ana­ly­tiques, obtien­dra son poste pour cette rai­son précise.

Fourier remplace Lagrange

Si l’esprit ana­ly­tique règne alors, avec le traite­ment des équa­tions, le jeu sur les fonc­tions, etc., il ne faudrait pas don­ner une image idyllique de ce renou­veau math­é­ma­tique. Lagrange entend for­malis­er le cal­cul dif­féren­tiel et inté­gral à par­tir d’une con­cep­tion algébrique mais ne per­met pas l’accès à tous les out­ils qu’attendent les appli­ca­tions à la mécanique. Les notes de cours pris­es en 1797 par Jean Leg­en­til (1795), étudiées récem­ment par Adrien Dufour (2011) et Stéphane Horte (2011) dans le cadre de l’enseignement d’histoire des sci­ences pro­posé par le départe­ment HSS, témoignent de ce que les cours réelle­ment dis­pen­sés par Lagrange sont bien moins théoriques que leur pub­li­ca­tion dans la Théorie des fonc­tions ana­ly­tiques de 1797.

Chaque leçon est asso­ciée à un prob­lème pré­cis, le mou­ve­ment d’un pro­jec­tile dans un milieu résis­tant per­me­t­tant par exem­ple d’introduire des pro­priétés com­plex­es d’analyse et d’addition des forces. Mais rien n’y fait : le cours de Lagrange ne passe pas. Son adjoint Fouri­er est alors chargé de pro­duire un cours de remplacement.

“La mécanique irrigue en profondeur l’analyse mathématique.”

La structuration de l’enseignement de l’analyse

Les cours de l’X sont la pre­mière véri­ta­ble struc­tura­tion de l’enseignement de l’analyse, branche des mathé­matiques dévelop­pée au XVIII^e siè­cle avec l’essor de la mécanique new­toni­enne. Le cal­cul dif­féren­tiel est au cœur de la théorie de New­ton : il sert à en énon­cer les lois et per­met d’en prou­ver l’efficacité pour math­é­ma­tis­er les mou­ve­ments des corps, en astronomie comme en artillerie ou dans la théorie des machines de l’industrie émer­gente. L’inauguration de ce cours pose donc le défi d’enseigner une sci­ence récente, en pleine évo­lu­tion, qui n’était jusqu’alors maîtrisée que par les savants les plus avancés.

Ce défi péd­a­gogique amène à repenser les fonde­ments de l’analyse. Il fait naître de nou­veaux idéaux de rigueur afin de présen­ter aux élèves des cours fondés sur des notions pré­cis­es par oppo­si­tion à cer­tains con­cepts con­tro­ver­sés, comme les « infin­i­ment petits ». De 1794 à 1830, le cours d’analyse four­nit l’un des pre­miers exem­ples d’enseignement étroite­ment asso­cié à la recherche d’une solide archi­tec­ture per­me­t­tant de con­stituer une dis­ci­pline. Moins de trente ans après Lagrange, Cauchy refonde l’analyse sur le con­cept de lim­ites et de fonc­tions con­tin­ues, tout comme aujourd’hui.

Autonomie des mathématiques et de la mécanique

Cette struc­tura­tion de l’analyse joue un rôle impor­tant dans l’autonomisation réciproque des math­é­ma­tiques et de la mécanique. Il n’est notam­ment plus ques­tion de recourir à des con­cep­tions mécaniques du mou­ve­ment, telles que les flux­ions de New­ton, pour envis­ager la con­ti­nu­ité ou les vari­a­tions. Mais, à y regarder de plus près, la mécanique irrigue en pro­fondeur l’analyse math­é­ma­tique. Dans son cours de géométrie ana­ly­tique, Cauchy pro­pose ain­si de déter­min­er les axes prin­ci­paux des coniques et quadriques selon la méth­ode élaborée par Lagrange pour car­ac­téris­er la sta­bil­ité mécanique des petites oscil­la­tions d’un sys­tème de corps.

Cette méth­ode avait notam­ment été util­isée par Laplace pour démon­tr­er la sta­bil­ité du sys­tème du monde, c’est-à-dire des oscil­la­tions non péri­odiques des orbites des planètes du sys­tème solaire. Elle con­siste à linéaris­er le prob­lème en le math­é­ma­ti­sant par un sys­tème d’équations dif­féren­tielles linéaires à coef­fi­cients con­stants dont Lagrange déter­mine les oscil­la­tions pro­pres (nous diri­ons aujourd’hui valeurs propres).

Analyse et mécanique

La même méth­ode fonc­tionne pour les sur­faces du sec­ond degré en rai­son de la nature qua­dra­tique des deux prob­lèmes, mécaniques et géométrique, qui impliquent de diag­o­nalis­er une matrice symétrique. Mais, bien avant la for­mal­i­sa­tion de l’algèbre linéaire, c’est l’analogie mécanique qui inspire Cauchy. La pos­si­bil­ité d’envisager les oscil­la­tions d’un nom­bre quel­conque n de corps lui per­met d’explorer la géométrie à n dimen­sions… puis d’appliquer en retour ses méth­odes géométriques à la mécanique : ellip­soïdes de pres­sion en théorie de l’élasticité, petites oscil­la­tions de « par­tic­ules lumineuses »…

Cette intim­ité poly­technicienne entre analyse et mécanique se retrou­vera encore beau­coup plus tard chez Hen­ri Poin­caré (1873), aus­si bien dans le rôle joué par les cônes de lumière dans son approche de la rel­a­tiv­ité que dans sa stratégie de linéari­sa­tion du prob­lème des trois corps en mécanique céleste, qui reprend la méth­ode des petites oscil­la­tions de Lagrange mais cette fois pour faire osciller le sys­tème dif­féren­tiel lui-même.

La roue hydraulique de Poncelet

Dans le cadre de leur enseigne­ment d’histoire des sci­ences, Lau­rent Guin (2011) et Leonel Pau­ro Velásquez (2011) ont étudié la roue hydraulique à aubes courbes conçue par Pon­celet en 1823 dans le cadre d’une mis­sion d’amélioration d’une forge à puis­sance hydraulique à l’arsenal de Metz. Cette « roue de Pon­celet » offre des ren­de­ments dou­bles de ceux des roues à aubes planes alors util­isées. Sa con­cep­tion est fondée sur le principe des « forces vives », prin­ci­pal con­cept de la théorie des machines : un « bilan de force vive », c’est-à-dire de l’énergie entre le point où l’eau entre dans la roue et le point d’où elle en sort, per­met à Pon­celet de math­é­ma­tis­er le tra­vail utile récupérable par une expres­sion dif­féren­tielle dépen­dant de deux paramètres, l’angle d’attaque du flu­ide sur la planchette, d’une part, l’angle d’orientation de la planchette par rap­port à la direc­tion de trans­la­tion d’autre part.

Opti­miser le tra­vail utile revient alors à min­imiser ces deux angles : il faut donc s’approcher d’une attaque tan­gen­tielle de l’eau sur les aubes et d’une grande incli­nai­son des aubes par rap­port aux rayons. D’où l’idée de con­stru­ire des roues à aubes courbes inclinées. Con­traire­ment à la tur­bine d’Euler restée au stade de pro­to­type, ces roues seront large­ment exploitées en France à par­tir de 1827. Le mod­èle math­é­ma­tique de Pon­celet sera néan­moins cri­tiqué par Cori­o­lis dès 1829 pour avoir ignoré les tur­bu­lences engen­drées par l’écoulement de l’eau dans le canal.

L’autonomisation de la mécanique

En 1850, une com­mis­sion inter­min­istérielle abri­tant en son sein des noms illus­tres de la mécanique céleste, tel Urbain Le Ver­ri­er (1833), comme de la mécanique appliquée, tel Jean Vic­tor Pon­celet (1807), promeut un ensei­gnement de la mécanique davan­tage empirique et utile. Un objec­tif majeur est de faire béné­fici­er l’enseignement des machines du pou­voir uni­fi­ca­teur de la théorie. La pro­liféra­tion de dis­posi­tifs mécaniques qui accom­pa­gne l’industrialisation européenne rend en effet obsolète l’approche descrip­tive des machines qui avait été dévelop­pée depuis 1794 par l’usage du dessin géométrique. Sur le plan théorique, le cours de Jean Bap­tiste Belanger (1808) donne ain­si à par­tir de 1851 la pri­mauté à la ciné­ma­tique au détri­ment de la sta­tique qui, depuis Lagrange, Prony ou Louis Poinsot (1794), con­sti­tu­ait le fonde­ment de l’enseignement de la mécanique, jusqu’alors conçue comme sci­ence de l’équilibre.

L’évolution des principes de la mécanique rationnelle en tant que dis­ci­pline est alors mar­quée par son artic­u­la­tion avec la physique, mod­èle de sci­ence expéri­men­tale alter­natif à celui des math­é­ma­tiques. Cette évo­lu­tion a fait l’objet de plusieurs travaux de recherche d’élèves. Emmanuel Orsi­ni (2012) a ain­si étudié la place attribuée au con­cept d’éther – longtemps conçu comme un milieu élas­tique dont les vibra­tions expli­quaient la théorie de la lumière – bien après l’expérience de Michel­son-Mor­ley de 1887, jusque dans les dernières édi­tions des cours de Painlevé et Léon Lecor­nu (1872) en 1926–1927. Olivi­er Gau­thé (2011), Xavier Bon­netain (2011), Yoann Desmouceaux (2011) et Sébastien Geer­aert (2011) ont, quant à eux, étudié l’émergence de l’enseignement de la mécanique quan­tique à l’École poly­tech­nique à par­tir de 1938 au sein des cours de physique de Louis Lep­rince-Ringuet (1920N) et André Léauté (1902).

Entre pratique et théorie : le dessin

La créa­tion de l’École poly­tech­nique s’est accom­pa­g­née de l’idéal de con­cevoir une nou­velle méth­ode d’ensei­gnement visant à favoris­er l’activité des élèves qui « doivent non seule­ment com­pren­dre, mais exé­cuter avec pré­ci­sion ». Des lab­o­ra­toires sont étab­lis pour l’enseignement de la chimie, ain­si que des col­lec­tions d’instruments pour celui de la physique. La mécanique se trou­vant du côté des math­é­ma­tiques, l’activité des élèves n’y est pas ini­tiale­ment pro­mue par l’expéri­mentation mais par l’exécution de travaux graphiques à l’aide de mod­èles. La pra­tique du dessin géométrique occupe longtemps une place con­sid­érable dans l’emploi du temps des élèves et les prob­lèmes mécaniques y jouent un rôle essentiel.

Par exem­ple, les tra­jec­toires des points de con­tact de deux engrenages engen­drent des courbes à dou­ble cour­bu­re dont l’étude gagne à com­bin­er cal­cul dif­féren­tiel et dessin géométrique. Il s’agit non seule­ment de décrire des machines – com­pé­tences dont un cer­tain nom­bre de poly­tech­ni­ciens fer­ont usage pour espi­onner l’industrie bri­tan­nique – mais aus­si de con­cevoir des inno­va­tions mécaniques.

La mécanique dans les collections d’instruments de l’École polytechnique

Prob­a­ble con­séquence de sa prox­im­ité avec les math­é­ma­tiques, la mécanique est longtemps restée absente des col­lec­tions d’instruments sci­en­tifiques anciens de l’École : si de nom­breux instru­ments sont fondés sur des dis­posi­tifs mécaniques, rares sont ceux qui ont été conçus pour l’enseignement de la mécanique en tant que tel. Ce n’est que très récem­ment, à l’occasion de l’inauguration du Mus’X en juin 2018, que le TreX de mécanique a ver­sé à la bib­lio­thèque un ensem­ble d’instruments ayant servi à l’enseignement expéri­men­tal de la mécanique au XX^e siè­cle. Par­mi cette col­lec­tion du TreX de mécanique, citons l’herpolhodographe conçu par Gas­ton Dar­boux et Gabriel Koenigs et présen­té à l’Exposition uni­verselle de Paris de 1900. Cet instru­ment per­met de trac­er des her­pol­hodies ou courbes engen­drées par le mou­ve­ment à la Poinsot d’un corps en rota­tion sur un plan fixe. L’usage de tels instru­ments pour l’enseignement de la mécanique au XX^e siè­cle reste encore trop peu con­nu et appelle de nou­veaux travaux de recherche dans les col­lec­tions his­toriques : avis aux volon­taires, par­mi les élèves comme par­mi les anciens ! 

Ressources

Kon­stan­ti­nos Chatzis, « Mécanique rationnelle et mécanique des machines à l’École poly­tech­nique, 1800–1860 », dans Amy Dahan Dalmedico, Bruno Bel­hoste et Antoine Picon (éd.), La for­ma­tion poly­tech­ni­ci­enne : 1794–1994, Paris, Dun­od, 1994, p. 95–108.

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