Covid-19 cinq ans après : une vue d’ingénieur

Com­ment, en phase avec cer­taines recom­man­da­tions de Cédric Vil­la­ni, un peu de culture mathé­ma­tique et sta­tis­tique s’appuyant sur une recherche de docu­men­ta­tion ouverte donne une expli­ca­tion pos­sible de cer­tains écarts consta­tés entre les pré­vi­sions des « experts » et la réa­li­té des chiffres lors de la pan­dé­mie de Covid-19… Et per­met de démys­ti­fier sans a prio­ri les résul­tats de la « méthode Raoult ». Une leçon qui peut être utile dans l’avenir.

Le der­nier ensei­gne­ment théo­rique que j’ai reçu dans le domaine des sciences de la vie remonte au lycée et je pense qu’il en est de même pour bon nombre de nos cama­rades. Se sont ensuite ajou­tées à ces connais­sances rudi­men­taires les infor­ma­tions gla­nées dans cer­tains médias géné­ra­listes, ain­si que les leçons pra­tiques tirées d’accidents de san­té per­son­nels ou de ceux de proches. De ce fait, je n’ai décou­vert qu’à par­tir de 2020 ce qu’était réel­le­ment une pan­dé­mie et com­ment on pou­vait essayer de la juguler.

Face à un tel évé­ne­ment et en dépit de son manque habi­tuel de connais­sances appro­fon­dies sur les phé­no­mènes bio­lo­giques, le réflexe nor­mal d’un ingé­nieur, sur­tout quand lui-même ou des proches sont atteints par l’infection – mon cas dès mars 2020 – est de vou­loir com­prendre com­ment les auto­ri­tés sani­taires et poli­tiques ana­lysent les don­nées quan­ti­ta­tives dis­po­nibles et en déduisent la conduite à tenir pour ten­ter d’en mini­mi­ser les consé­quences. D’où les quelques réflexions qui suivent.

Décès quotidiens en 2020 comparés aux cinq dernières années, à la canicule de 2003
et à la grippe de Hong Kong (1968−1970)

L’absence d’une politique de tests par sondage pour connaître le développement réel de l’épidémie

De nom­breux indi­ca­teurs ont été dif­fu­sés pen­dant toute la durée de la pan­dé­mie : nombre quo­ti­dien de cas confir­més par des tests, nombre d’entrées à l’hôpital, nombre d’entrées dans un ser­vice de réani­ma­tion, nombre de décès (dans le cas où ces trois der­niers types d’événements étaient attri­bués à la Covid). La don­née la plus fiable est le nombre de décès (encore qu’il y ait un cer­tain niveau d’arbitraire dans la décla­ra­tion de leur cause, en par­ti­cu­lier dans le cas de patho­lo­gies multiples). 

À par­tir du taux de mor­ta­li­té moyen des per­sonnes conta­mi­nées et de la durée moyenne entre infec­tion et décès, cela devrait per­mettre de remon­ter au nombre approxi­ma­tif d’infections (avec un cer­tain retard). Mais en début d’épidémie exis­tait une grande incer­ti­tude sur le taux de mor­ta­li­té des malades conta­mi­nés par la Covid, ain­si qu’une cruelle insuf­fi­sance de moyens de test. La dis­po­ni­bi­li­té ulté­rieure de réac­tifs et d’équipements en nombre suf­fi­sant a per­mis d’augmenter de façon très signi­fi­ca­tive la quan­ti­té de tests quo­ti­diens, mais ceux-ci ont été effec­tués uni­que­ment à la suite de demandes indi­vi­duelles géné­rées par diverses causes dont fièvre, maux de tête, anxié­té, obli­ga­tion pour cer­tains métiers et pour les voya­geurs aériens ou même simple curio­si­té (encou­ra­gée par la gratuité !). 

Les tests réa­li­sés de cette manière ne pou­vaient pas pré­tendre suivre de façon pré­cise l’évolution au jour le jour des conta­mi­na­tions dans une popu­la­tion de 67 mil­lions d’habitants, mais il aurait vrai­sem­bla­ble­ment été pos­sible d’en réser­ver un faible quo­ta (quelques cen­taines ou quelques mil­liers par jour) à un pro­gramme de comp­tage par échan­tillon­nage sui­vant une tech­nique voi­sine de celle des socié­tés qui effec­tuent des son­dages élec­to­raux. Ces der­nières l’ont pro­po­sé, appa­rem­ment sans succès…

Un bel exemple de biais statistique : le match Paris-Marseille

Tom­bé malade à la mi-mars, juste après le début du pre­mier confi­ne­ment que j’ai pas­sé dans les Yve­lines, j’ai appris par mon méde­cin trai­tant qu’un ser­vice spé­cia­li­sé Covid venait d’ouvrir dans une struc­ture pro­vi­soire ins­tal­lée dans l’enceinte de l’hôpital de Ram­bouillet. Un méde­cin spé­cia­li­sé y consta­ta mon état (une fièvre à 39° qui devait durer trois semaines) et me deman­da si j’avais res­sen­ti des dif­fi­cul­tés res­pi­ra­toires, ce qui fort heu­reu­se­ment n’était pas mon cas. Devant ma réponse néga­tive, il m’indiqua « qu’étant en méde­cine de guerre » il ne pou­vait pas me faire béné­fi­cier d’un test Covid, dont l’usage était réser­vé aux malades mani­fes­tant des pro­blèmes pulmonaires. 

À Mar­seille Didier Raoult, vieux rou­tier des épi­dé­mies, savait l’importance des tests. Il prit soin de consti­tuer des stocks impor­tants de réac­tifs, ce qui lui per­mit d’offrir à qui le vou­drait de se faire tes­ter dans son ins­ti­tut. Si le test était posi­tif, l’individu béné­fi­ciait alors sys­té­ma­ti­que­ment du trai­te­ment deve­nu célèbre (hydroxy­chlo­ro­quine et azi­thro­my­cine), dont Didier Raoult vou­lait prou­ver l’efficacité.

« Didier Raoult, vieux routier des épidémies, savait l’importance des tests. »

Les com­pa­rai­sons à l’avantage de Mar­seille qui ont cir­cu­lé au début de l’épidémie reposent sur l’examen des « taux de léta­li­té des cas » (Case Fata­li­ty Rate) qui est le résul­tat de la « divi­sion du nombre de décès enre­gis­trés par le nombre de cas confir­més de la mala­die ». À Paris, un cas confir­mé était un indi­vi­du tes­té posi­tif qui avait décla­ré à son méde­cin ren­con­trer des dif­fi­cul­tés res­pi­ra­toires (sinon il n’aurait pas été testé). 

À Mar­seille un cas tes­té posi­tif par l’institut de Didier Raoult avait ou n’avait pas de dif­fi­cul­té res­pi­ra­toire, ce qui veut dire que le déno­mi­na­teur défi­ni comme « total de cas confir­més de la mala­die » incluait une forte pro­por­tion de tes­tés posi­tifs asymp­to­ma­tiques, ou encore de malades sans trouble pul­mo­naire des­ti­nés géné­ra­le­ment à connaître une évo­lu­tion non létale de leur infec­tion. Inutile de dire qu’une telle dif­fé­rence entraî­nait auto­ma­ti­que­ment un taux de léta­li­té des cas recen­sés et soi­gnés par l’institut infé­rieur aux taux pari­siens, que le trai­te­ment pro­po­sé ait été utile, inutile ou même nui­sible ! Curieu­se­ment, ce point n’a pas été rele­vé par les auto­ri­tés sani­taires, ni dans aucun des très nom­breux articles ou émis­sions sur ce que cer­tains ont pré­sen­té à l’époque comme un nou­veau match OM-PSG…

Comment peut-on prévoir l’évolution d’une pandémie ?

La vitesse de pro­pa­ga­tion d’une épi­dé­mie dépend : d’une part de fac­teurs bio­lo­giques (pro­prié­tés du virus concer­né et de ses éven­tuels variants, conta­gio­si­té des indi­vi­dus conta­mi­na­teurs, récep­ti­vi­té des indi­vi­dus poten­tiel­le­ment conta­mi­nables) ; d’autre part de fac­teurs non bio­lo­giques (dits non phar­ma­ceu­tiques), propres au mode de vie de la socié­té à laquelle s’attaque le virus, tels que la fré­quence à laquelle sur­viennent des proxi­mi­tés directes ou indi­rectes poten­tiel­le­ment conta­mi­nantes entre indi­vi­dus, la nature de ces proxi­mi­tés (par exemple : salut mati­nal à dis­tance ou accolade ?).

Le prin­ci­pal indi­ca­teur quan­ti­ta­tif ren­dant compte de cette pro­pa­ga­tion est le nombre de repro­duc­tion de base, dit R0, qui indique le nombre moyen de nou­veaux cas qu’une seule per­sonne infec­tée et conta­gieuse va géné­rer pen­dant la durée D sépa­rant sa conta­mi­na­tion de sa gué­ri­son (ou de son décès) dans une popu­la­tion sans aucune immu­ni­té (l’immunité pou­vant être éven­tuel­le­ment innée, ou acquise par infec­tion anté­rieure sui­vie de gué­ri­son, ou encore par vac­ci­na­tion). R0 n’est pas mesu­rable direc­te­ment, mais cal­cu­lable de façon de plus en plus pré­cise à mesure que l’épidémie se développe.

Une fois que l’épidémie a com­men­cé à se répandre, on peut divi­ser une popu­la­tion de N indi­vi­dus en trois caté­go­ries (tra­di­tion­nel­le­ment appe­lées com­par­ti­ments S, I et R) : S (« sus­cep­tibles ») indi­vi­dus poten­tiel­le­ment conta­mi­nables, I infec­tés et pas encore gué­ris ou décé­dés, R « remis » com­pre­nant les indi­vi­dus ne pou­vant plus trans­mettre le virus car gué­ris (et immu­ni­sés pour une durée rela­ti­ve­ment longue) ou décé­dés. Au cours de l’épidémie le stock I d’infectés évo­lue du fait de l’arrivée d’un flux de nou­veaux infec­tés et de la sor­tie du flux d’infectés gué­ris ou décé­dés. Les modé­li­sa­tions de l’épidémie reposent sur le cal­cul des flux d’entrée et de sor­tie dans le « com­par­ti­ment I », qui sont extrê­me­ment simples dans le cas d’une popu­la­tion homo­gène (voir encadré).

Un peu de calcul ! 

Entrée : si une per­sonne, entou­rée d’une popu­la­tion N conta­mi­nable à 100 %, en conta­mine R0 pen­dant la durée D sépa­rant son infec­tion de sa gué­ri­son (ou son décès), elle n’en conta­mi­ne­ra plus que R0 x S / N si seuls S sont conta­mi­nables. Cela cor­res­pond à β S par uni­té de temps (habi­tuel­le­ment expri­mée en jours) si on uti­lise la nota­tion tra­di­tion­nelle β = R0 /(N x D). I per­sonnes en conta­mi­ne­ront β I S par uni­té de temps. 

Sor­tie : pen­dant n’importe quel inter­valle de temps, le nombre moyen de per­sonnes arrê­tant d’être malades et conta­gieuses est égal à celui des per­sonnes ayant été infec­tées dans un inter­valle de temps anté­rieur de même durée, mais déca­lé de D. 

Et là, stu­pé­fac­tion de l’ingénieur et du phy­si­cien (mais pas tou­jours du mathé­ma­ti­cien !) : tous les cours du monde consul­tés com­mencent par la pré­sen­ta­tion des « com­par­ti­ments SIR » et d’équations dites de Ker­mack et McKen­drick (plus bas K&McK) conte­nues dans une com­mu­ni­ca­tion d’une ving­taine de pages à la Royal Socie­ty de Londres faite en 1927, équa­tions qui d’après les auteurs de ces cours et de cer­tains modèles uti­li­se­raient dans la simu­la­tion de l’épidémie la notion d’un « taux de gué­ri­son » fixe tra­di­tion­nel­le­ment appe­lé γ et égal à 1/D. Or K&McK avaient com­pris que la popu­la­tion de malades com­pre­nait au jour J un mélange d’individus ayant été infec­tés depuis des durées variables (allant de 0 à D) et que, si on les clas­sait par caté­go­ries d’ancienneté de leur infec­tion (par exemple par jour), les pro­por­tions entre les nombres de malades de cha­cune de ces caté­go­ries ne seraient pas constantes.

À mesure que l’épidémie évo­lue, seuls gué­ri­raient ceux conta­mi­nés depuis D, dont le rap­port au nombre total de malades (nom­mé ψ(t) par K&McK) varie avec le temps. Tou­te­fois, en l’absence d’ordinateurs en 1927, il n’était pas pos­sible d’exploiter ce concept et c’est dans la recherche d’une sim­pli­fi­ca­tion qui per­met­trait cette exploi­ta­tion à par­tir d’équations dif­fé­ren­tielles (seule tech­nique uti­li­sable à l’époque) que K&McK ont défi­ni ce qu’ils appellent un spe­cial case à constant rates. Le jeu d’équations cor­res­pon­dant, asso­cié à leurs noms, est pas­sé à la pos­té­ri­té, mais avec un oubli géné­ra­li­sé du fait qu’il n’était per­ti­nent que si cette condi­tion res­tric­tive fon­da­men­tale était respectée.

Une très contestable notion de « taux de guérison » fixe

Si l’on ne pré­cise pas la com­po­si­tion de le popu­la­tion I infec­tée en fonc­tion de l’ancienneté de la conta­mi­na­tion de cha­cun de ses membres, cette notion de taux de gué­ri­son fixe γ lar­ge­ment uti­li­sée dans les cours et cer­tains modèles n’a aucun sens (sauf si l’épidémie est com­plè­te­ment sta­bi­li­sée ou à la rigueur très lente). Lorsque ce n’est pas le cas (en par­ti­cu­lier dans les moments cri­tiques où des déci­sions de ges­tion de l’épidémie s’imposent) le taux de gué­ri­son de l’ensemble des malades varie for­te­ment au cours du temps et peut être très dif­fé­rent de 1/D.

Ima­gi­nons par exemple un cas d’épidémie où la durée moyenne entre infec­tion et gué­ri­son (ou décès) est de 20 jours et où le jour J il y a 1 000 malades dont le nombre double de façon expo­nen­tielle tous les 5 jours. Au jour J + 20 on aura 16 000 nou­veaux malades et le nombre total des malades sera de plus de 100 000. Le même jour gué­ri­ront les per­sonnes tom­bées malades envi­ron 20 jours plus tôt, soit à peu près 1 000. Si on uti­lise les équa­tions de K&McK avec leur notion de taux de gué­ri­son fixe γ égal à l’inverse de D, on trouve plus de 5 000 gué­ri­sons ! Cette sur­éva­lua­tion du nombre d’individus quit­tant pré­co­ce­ment le « com­par­ti­ment I » ralen­tit arti­fi­ciel­le­ment la vitesse et l’ampleur du déve­lop­pe­ment de l’épidémie simulée.

Le dia­gramme qui suit (extrait des pages 20 à 23 du com­plé­ment https://www.fxm.ovh/coviddetails), éta­bli à l’aide de très simples tableurs de quelques colonnes, donne la com­pa­rai­son entre les simu­la­tions d’un début d’épidémie de carac­té­ris­tiques R0 = 3 et D = 10 jours avec : gué­ri­son le jour J de γI malades (I = nombre total de malades), en bleu ; gué­ri­son le jour J des indi­vi­dus conta­mi­nés 10 jours plus tôt, en rouge. Courbes en trait plein : nombre de nou­veaux infec­tés par jour. Courbes en poin­tillé : nombre total de malades simul­ta­nés. Bien noter que ces courbes sont valides à R0 constant, c’est-à-dire en absence théo­rique de toute modi­fi­ca­tion du com­por­te­ment de la popu­la­tion fran­çaise résul­tant du sui­vi de consignes des auto­ri­tés sani­taires (confi­ne­ments, qua­ran­taines…) ou de la prise de conscience spon­ta­née des dan­gers de la conta­gion, élé­ments qui apla­ti­ront les courbes réelles.

Dans le cas où, au lieu d’une crois­sance, on a une décrois­sance du nombre de malades (par exemple à la suite de la mise en place d’un confi­ne­ment), le nombre d’infections quo­ti­diennes décroît (en mars 2020, R0 est pas­sé ins­tan­ta­né­ment d’environ 3 à 0,7). Par un effet inverse, l’utilisation de la méthode du taux de gué­ri­son constant conduit à rapi­de­ment sous-esti­mer le nombre des gué­ri­sons, et donc la vigueur de la dimi­nu­tion de la popu­la­tion infec­tée. Contac­tés, les modé­li­sa­teurs des grands orga­nismes conseillers des pou­voirs publics qui uti­lisent des équa­tions dif­fé­ren­tielles déri­vées de celles de K&McK assurent par l’intermédiaire du CNRS tenir compte par divers pro­cé­dés des consi­dé­ra­tions qui précèdent.

Prévisions et réalités en 2020–2021

Mais rap­pe­lons qu’en 2020 le recul de l’épidémie pen­dant l’été sur la lan­cée du confi­ne­ment a été plus impor­tant que pré­vu, à tel point que cer­tains ont pré­ten­du que l’épidémie était ter­mi­née. La reprise d’automne a été net­te­ment plus forte que ce que pré­voyaient les modé­li­sa­teurs qui conseillaient alors les pou­voirs publics. Pour des rai­sons poli­tiques, le gou­ver­ne­ment a ins­tau­ré un second confi­ne­ment très tar­di­ve­ment (trop tard selon les modé­li­sa­teurs qui fai­saient alors des pré­vi­sions très pessimistes).

La réa­li­té a été une baisse plus rapide que ces pré­vi­sions pes­si­mistes aux consé­quences théo­ri­que­ment inévi­tables (selon un dis­cours du Pré­sident de la Répu­blique) qui ne se sont jamais réa­li­sées. Le Conseil scien­ti­fique Covid-19 lui-même a consta­té à plu­sieurs occa­sions l’insuffisante réac­ti­vi­té (à la hausse comme à la baisse) des modèles des grands orga­nismes : « cette accé­lé­ra­tion dont la bru­ta­li­té est sur­pre­nante » (page 3 de sa « note » du 26/10/2020) ; « le taux d’incidence a connu une baisse par­ti­cu­liè­re­ment rapide depuis mi-mai 2021. Elle a sur­pris le monde scien­ti­fique par son ampleur et sa vitesse » (page 2 de son « avis » du 6/7/2021).

Une petite suggestion

En cas de futures pan­dé­mies, ne serait-il pas sou­hai­table de suivre la recom­man­da­tion de Cédric Vil­la­ni, alors vice-pré­sident de l’Office par­le­men­taire d’évaluation des choix scien­ti­fiques et tech­no­lo­giques, qui a écrit en avril 2020 dans une note à l’Office sur la modé­li­sa­tion épi­dé­mio­lo­gique : « Il est pos­sible de dis­cré­ti­ser le modèle… Celui-ci est (alors) plus réa­liste dans la mesure où il per­met de consi­dé­rer qu’un indi­vi­du entré dans le com­par­ti­ment I a une pro­ba­bi­li­té d’autant plus grande d’en sor­tir qu’il y est entré depuis long­temps » ?

Notons que cal­cul infi­ni­té­si­mal ou le cal­cul dis­cret à pas tem­po­rel infé­rieur à la jour­née n’apporte pas une meilleure pré­ci­sion que le cal­cul à la jour­née, car la conta­gion suit heure par heure le rythme des acti­vi­tés humaines (avec en par­ti­cu­lier une dif­fé­rence entre le jour et la nuit) ; par ailleurs la modé­li­sa­tion par le « tout dis­cret » ne demande pas de connais­sances par­ti­cu­lières en mathé­ma­tiques, à la dif­fé­rence de méthodes uti­li­sant des équa­tions différentielles.

Pour aller plus loin

Une ver­sion plus détaillée est acces­sible en ligne :
https://www.fxm.ovh/coviddetails.

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