J.-P. Bourguignon (X66) : Il est temps de stopper l’hémorragie mathématique

Ces der­nières décen­nies les mathé­ma­tiques ont conti­nué leur déve­lop­pe­ment spec­ta­cu­laire et connu une explo­sion de leurs champs d’application. Aujourd’hui le monde éco­no­mique exprime un besoin immense de mathé­ma­ti­ciens. La France occupe une place de choix dans la réponse à ces besoins, mais cette posi­tion est mena­cée. Si dans notre pays la recherche est tou­jours au plus haut niveau, l’affaiblissement de l’investissement dans la for­ma­tion tant supé­rieure que pri­maire et secon­daire risque fort de com­pro­mettre l’avenir. 

Pour répondre à la ques­tion des nou­veaux besoins en mathé­ma­tiques, il est indis­pensable de connaître la situa­tion des mathé­ma­tiques en elles-mêmes et leur rap­port actuel et futur à la socié­té. 

Un impact accru des mathématiques

Dans « 100 ans de mathé­ma­tiques » – ma contri­bu­tion au livre Les poly­tech­ni­ciens dans le siècle 1894–1994 publié sous la direc­tion de Jacques Lesourne (X48) pour le bicen­te­naire de l’École poly­tech­nique –, je dis­cute le déve­lop­pe­ment excep­tion­nel qu’ont connu les mathé­ma­tiques au XX^e siècle, tant en elles-mêmes que par la varié­té et l’intensité de leurs inter­ac­tions et de leurs usages.

Dans les trente der­nières années, avec le déve­lop­pe­ment mas­sif de la col­lecte et de l’analyse des don­nées, avec les nou­velles capa­ci­tés de modé­li­sa­tion per­mises par l’énorme crois­sance de la puis­sance de cal­cul dis­po­nible, la réduc­tion de son coût et l’universalité de son acces­si­bi­li­té, l’impact accru des mathé­ma­tiques décrit dans cet article a pris une nou­velle dimen­sion, avec des consé­quences majeures qu’il convient d’analyser dans leur diver­si­té en iden­ti­fiant les exi­gences qui en découlent. Je vou­drais dis­cu­ter cette ques­tion sous trois angles : le conte­nu thé­ma­tique, les besoins de for­ma­tion et l’organisation de la recherche.

Les thématiques actuelles

Com­men­çons par le conte­nu thé­ma­tique. Le dévelop­pement de la dis­ci­pline en silos, qui avait domi­né son explo­sion des années 1940 à 1960, a été bat­tu en brèche par les déve­lop­pe­ments des vingt der­nières années, avec de mul­tiples fer­ti­li­sa­tions croi­sées entre branches mathé­ma­tiques, mais aus­si sous l’influence d’interactions avec d’autres dis­ci­plines et de pro­blé­ma­tiques exté­rieures. Il est donc deve­nu une évi­dence à beau­coup de mathé­ma­ti­ciens qu’il leur reve­nait de défendre l’unité des mathé­ma­tiques, nombre d’applications s’inspirant et uti­li­sant des résul­tats de par­ties plus fon­da­men­tales, et quel­que­fois de façon assez inat­ten­due. C’est un effet de la séren­di­pi­té, qui fait que de nou­veaux concepts ont un impact bien au-delà du domaine où ils naissent. Vu la pro­fu­sion de nou­veaux résul­tats dans de nom­breuses par­ties des mathé­ma­tiques, je me concen­tre­rai ici sur les ten­dances lourdes fai­sant évo­luer l’architecture géné­rale de la dis­ci­pline. 

L’explosion de la théorie des probabilités

Dans la période récente, la théo­rie des pro­ba­bi­li­tés a connu des déve­lop­pe­ments impor­tants et une recon­nais­sance au plus haut niveau : dans les vingt der­nières années, pas moins de trois médailles Fields ont récom­pen­sé des pro­ba­bi­listes – dont deux Fran­çais, Wen­de­lin Wer­ner et Hugo Dumi­nil-Copin –, attes­tant de la très haute qua­li­té de l’école fran­çaise. Des approches pro­ba­bi­listes se sont déve­lop­pées aus­si bien en ana­lyse, avec des pro­grès impor­tants dans les équa­tions aux déri­vées par­tielles sto­chas­tiques, qu’en géo­mé­trie, avec les marches aléa­toires dans les groupes et l’importance prise par la théo­rie ergodique.

L’influence de l’informatique

Le déve­lop­pe­ment consi­dé­rable de l’informatique, domaine d’interaction des mathé­ma­tiques par excel­lence, a sti­mu­lé de nom­breuses recherches en com­bi­na­toire. Cela a contri­bué à mieux consi­dé­rer des objets dis­crets (par oppo­si­tion à conti­nus) et aus­si moins régu­liers. C’est le cas notam­ment des espaces irré­gu­liers comme la Toile, où l’on peut défi­nir une notion de dis­tance avec des pro­prié­tés mini­males comme l’existence de plus courts che­mins entre deux points quel­conques. 

La place main­te­nant cen­trale que la col­lecte et l’analyse de don­nées ont prise dans de nom­breux champs de la connais­sance a évi­dem­ment eu un impact sur le déve­lop­pe­ment des mathé­ma­tiques per­ti­nentes pour leur trai­te­ment. Cela résulte du chan­ge­ment assez radi­cal du para­digme sous-ten­dant l’intelligence arti­fi­cielle (IA), qui s’appuie de plus en plus sur des approches sto­chas­tiques appli­quées à de vastes ensembles de don­nées qui fondent l’apprentissage auto­ma­tique (machine lear­ning). Les impacts de l’IA atten­dus dans le monde indus­triel – on parle d’industrie 4.0, voire 5.0 –, mais aus­si dans beau­coup d’aspects de la vie quoti­­dienne, relèvent mas­si­ve­ment de déve­lop­pe­ments mathématiques.

La révolution de la génomique

Le champ sta­tis­tique a donc acquis un rôle accru dans les mathé­ma­tiques, quel­que­fois en leur emprun­tant des outils récents comme les réseaux de neu­rones. On doit aus­si noter l’importance qu’y a prise l’approche bayé­sienne, long­temps sous-repré­sen­tée en France ; des efforts notables res­tent à faire dans cette direc­tion. 

Cette place plus grande des sta­tis­tiques est aus­si due à l’intensification des rela­tions entre mathé­ma­ti­ciens et bio­lo­gistes, après la révo­lu­tion de leur dis­ci­pline liée à l’identification du rôle de l’ADN. Une autre dimen­sion vient de la place cen­trale des déve­lop­pe­ments de la bio­lo­gie en « ‑omique » – comme la géno­mique. Cela a ren­du néces­saire la consi­dé­ra­tion d’objets dis­crets d’une grande com­plexi­té par leur confor­ma­tion géo­mé­trique, dont la com­pré­hen­sion sera essen­tielle dans la méde­cine de demain.

Les nouvelles possibilités de modélisation

Dans les der­niers trente ans, la puis­sance de cal­cul – on parle de HPC pour High Per­for­mance Com­pu­ting – a crû mas­si­ve­ment. Cela a don­né une impul­sion for­mi­dable à la modé­li­sa­tion et à la simu­la­tion. Au-delà de la pos­si­bi­li­té de faire des cal­culs plus pré­cis, des domaines jusqu’alors inac­ces­sibles à une approche mathé­ma­ti­sée ont pu être abordés.

Il ne s’agit pas seule­ment de la taille, et donc du réa­lisme, des modèles mais aus­si de la vitesse à laquelle les cal­culs ou les simu­la­tions peuvent être menés à bien. Cela va, dans cer­tains cas, jusqu’à pou­voir inter­ve­nir en temps réel dans des situa­tions com­plexes, grâce à l’accès géné­ra­li­sé à des outils de cal­cul puis­sants – pen­sez à ce que peut faire votre télé­phone por­table ! Un des effets est le pro­grès spec­ta­cu­laire dans le trai­te­ment des images et des sons, autant pour leur cap­ta­tion que pour leur com­pres­sion en vue de leur trans­mis­sion. Ces pos­si­bi­li­tés jouent un rôle consi­dé­rable dans la place prise par les images dans nos sociétés.

Venons-en main­te­nant aux besoins de for­ma­tion en dis­tin­guant les niveaux avan­cés et de base, car la façon de les abor­der dif­fère beaucoup.

La formation avancée en mathématiques

Consi­dé­rons d’abord la for­ma­tion avan­cée en mathé­ma­tiques. La varié­té des inter­ac­tions des mathé­ma­tiques ayant crû de façon signi­fi­ca­tive, il convient que, suf­fi­sam­ment tôt dans leur appren­tis­sage de la dis­ci­pline, un grand nombre d’étudiants et d’étudiantes soient confron­tés à la façon dont elles contri­buent à d’autres sciences et à d’autres domaines d’activité. L’objectif est de leur faire per­ce­voir les dif­fé­rents pro­ces­sus par les­quels l’approche mathé­matique se révèle féconde. L’implication pré­coce dans des pro­jets de nature aca­dé­mique ou dans un environ­nement indus­triel ou de ser­vices doit prendre une place plus grande dans la for­ma­tion que par le pas­sé. Cela va de pair avec la néces­si­té de don­ner aux étu­diants et étu­diantes une réelle auto­no­mie par leur maî­trise d’outils infor­ma­tiques, tant logi­ciels que de programmation.

Prendre en compte les besoins de l’économie

Un des nou­veaux défis de la for­ma­tion avan­cée est la crois­sance de la demande du sec­teur éco­no­mique, les grandes entre­prises comme les PME – ce qui est nou­veau – pour des étu­diants et étu­diantes ayant une maî­trise des outils de l’IA et de la modé­li­sa­tion. Beau­coup de chefs d’entreprise savent qu’une modi­fi­ca­tion des pro­fils de leur per­son­nel dans cette direc­tion condi­tionne la réus­site des tran­si­tions tant éner­gé­tique qu’en matière d’IA. Cela se tra­duit par beau­coup plus de recru­te­ments de diplô­més de mas­ters à domi­nante mathé­ma­tique, une des causes de la dif­fi­cul­té de recru­ter des pro­fes­seurs de mathé­ma­tiques dans l’enseignement secondaire.

“La discipline a perdu 8 % de ses postes universitaires, quand le nombre des étudiants augmentait de 20 %.”

Avec la meilleure offre sala­riale du sec­teur pri­vé, cela pré­sente le risque de voir un nombre signi­fi­ca­tif des meilleurs étu­diants se détour­ner de la pré­pa­ra­tion d’un doc­to­rat. Celui-ci acquis, le pro­blème demeure : les débuts de car­rière aca­dé­mique tou­jours peu rému­né­rés – mal­gré les pro­grès de la loi de pro­gram­ma­tion plu­ri­an­nuelle sur la recherche –, et les recru­te­ments tar­difs sur des postes stables peuvent être des repoussoirs.

Dans les der­niers dix ans, la dis­ci­pline a en effet per­du 8 % de ses postes uni­ver­si­taires, quand le nombre des étu­diants aug­men­tait de 20 %. La situa­tion est deve­nue cri­tique : le nombre de postes à pour­voir en mathé­ma­tiques doit croître rapi­de­ment. Une prise de conscience de la gra­vi­té de cette situa­tion au niveau poli­tique est indis­pen­sable alors que la France est encore vue, à l’échelle inter­na­tio­nale, comme un pays majeur de la dis­ci­pline, comme l’atteste le nombre de contrats du Conseil euro­péen de la recherche obte­nus en France. 

L’expérience de « Mathématiques A Venir » en 1987

En 1987, la com­mu­nau­té mathé­ma­tique tout entière s’était mobi­li­sée en orga­ni­sant le col­loque « Mathé­ma­tiques A Venir » à l’X sur une sug­ges­tion et avec le sou­tien de Ber­nard Esam­bert (X54), alors pré­sident du conseil d’administration, que j’avais aler­té. Ce fut la pre­mière col­la­bo­ra­tion de la Socié­té mathé­ma­tique de France et de la Socié­té de mathé­ma­tiques appli­quées et indus­trielles, nou­vel­le­ment fon­dée. L’objectif était de faire le point sur l’évolution de la dis­ci­pline, mais sur­tout de tirer le signal d’alarme devant l’affaiblissement de la com­po­sante uni­ver­si­taire après une dizaine d’années de confis­ca­tion des postes vacants en mathé­ma­tiques pour déve­lop­per l’informatique naissante.

Dès 1988, la créa­tion d’une direc­tion mathé­ma­tique à la Direc­tion de la recherche et des études doc­to­rales du minis­tère signi­fiait que le mes­sage avait été reçu. A sui­vi un retour rapide des postes qui avaient été, d’une cer­taine façon, confis­qués. Cela a fait des années 1990 une période flo­ris­sante pour les mathé­ma­tiques fran­çaises, sym­bo­li­sée par les médailles Fields de Jean-Chris­tophe Yoc­coz et de Pierre-Louis Lions.

Les assises des mathématiques de 2022

En 2022, pour pré­pa­rer et orga­ni­ser les assises des mathé­ma­tiques, une autre approche a été sui­vie. C’est l’Institut natio­nal des sciences mathé­ma­tiques et de leurs inter­ac­tions du CNRS qui les a mises sur pied avec quelques par­te­naires ins­ti­tu­tion­nels. Des groupes de tra­vail ont pré­pa­ré des rap­ports sub­stan­tiels – dis­po­nibles sur le site des assises – notam­ment sur l’impact des mathé­ma­tiques sur la vie éco­no­mique, esti­mé à 15 % de l’activité avec plus de 3 mil­lions d’emplois à la clé. Des études en Grande-Bre­tagne et aux Pays-Bas ont don­né des chiffres simi­laires, et la ten­dance est clai­re­ment crois­sante. 

La formation de base en mathématiques

Venons-en main­te­nant à la for­ma­tion de base. Il va de soi que la pré­sence géné­ra­li­sée de savoirs mathé­ma­tiques fon­da­men­taux dans la vie quo­ti­dienne et dans les acti­vi­tés éco­no­miques exige qu’acquérir des connais­sances de base soit un objec­tif à atteindre pour toute la popu­la­tion, une condi­tion de sa par­ti­ci­pa­tion infor­mée à la vie col­lec­tive. 

Mal­heu­reu­se­ment, les signaux que donnent les enquêtes inter­na­tio­nales PISA (pro­gramme inter­na­tio­nal pour le sui­vi des acquis des élèves) ou TIMSS (Trends in Mathe­ma­tics and Science Stu­dy) récentes ne sont pas bons, la France échouant à per­mettre l’acquisition des connais­sances de base pour une large par­tie de la popu­la­tion. La grande dif­fi­cul­té à recru­ter des pro­fes­seurs des écoles ayant un socle solide de connais­sances en sciences, et en par­ti­cu­lier en mathé­ma­tiques, est à ce pro­pos une grande source d’inquiétude. Un plan ambi­tieux pour redres­ser la situa­tion est indis­pen­sable. Le ministre affirme qu’il va le mettre en place. C’est une urgence abso­lue. Le recru­te­ment de pro­fes­seurs de mathé­ma­tiques du secon­daire est aus­si pro­blé­ma­tique avec, depuis plu­sieurs années, moins de can­di­dats et de can­di­dates que de postes à pourvoir.

L’aberrante réforme du lycée 

C’est dans ce contexte qu’est arri­vée la réforme du lycée, dimi­nuant en pre­mières et ter­mi­nales dras­ti­que­ment l’exposition aux mathé­ma­tiques d’un grand nombre d’élèves, avec un impact par­ti­cu­lier sur les filles – moins de 36 % de filles gardent un par­cours de maths de 6 h ou plus en ter­mi­nale, contre 47,5 % en 2019 ! Convaincre plus de jeunes filles qu’elles peuvent faire des études de mathé­ma­tiques avec suc­cès est pour­tant un impé­ra­tif abso­lu. Peu de réformes ont eu un effet aus­si consi­dé­rable en si peu de temps, et dans ce cas dans une direc­tion tout à fait erro­née – en 2021, 130 000 élèves suivent trois ensei­gne­ments scien­ti­fiques en pre­mière, comme dans l’ancienne pre­mière S ; ils étaient 200 000 avant la réforme. Un non-sens ! 

Par­mi les per­sonnes qui se sont expri­mées publi­que­ment pour dénon­cer le péril majeur que la réforme crée, on trouve de nom­breux chefs d’entreprise, pré­ci­sé­ment pour les rai­sons expo­sées pré­cé­dem­ment, à savoir les besoins gran­dis­sants de per­sonnes à l’aise avec les mathé­ma­tiques, sans par­ler du plus grand nombre de spé­cia­listes à embau­cher. 

Un col­lec­tif regrou­pant un grand nombre d’associations scien­ti­fiques et pro­fes­sion­nelles a fait un tra­vail en pro­fon­deur pour docu­men­ter les effets de la réforme et faire des pro­po­si­tions pour redres­ser la situa­tion d’urgence. Le minis­tère semble buté sur une atti­tude refu­sant de voir que la struc­ture même de la réforme est en cause. Les mesures cos­mé­tiques consis­tant à réin­tro­duire une dose mini­male de mathé­ma­tiques en pre­mière ne résou­dront rien, voire aggra­ve­ront la situa­tion, comme l’a dénon­cé le collectif.

L’organisation de la recherche mathématique

La modi­fi­ca­tion de l’organisation de la recherche qui s’impose est déjà bien enta­mée. Beau­coup d’institutions ont com­pris la néces­si­té de sor­tir d’une poli­tique de silos et de déve­lop­per plus d’interdisciplinarité impli­quant des mathé­ma­ti­ciens. J’ai déjà sou­li­gné la néces­si­té de pré­pa­rer les étu­diants tôt dans leur cur­sus à ce type d’échanges. Un des déve­lop­pe­ments nou­veaux est le fait qu’un cer­tain nombre d’entreprises, spé­cia­le­ment dans les Gafa, ont créé des équipes de recherche en mathé­ma­tiques en lais­sant plus de liber­té, qu’il est usuel dans le monde des entre­prises, à leurs cher­cheurs. Un défi à la recherche publique.

Une grande cause nationale

Devant le défi de rendre la France – pays recon­nu pour son exper­tise en mathé­ma­tiques – en mesure de contri­buer aux nou­veaux déve­lop­pe­ments et de répondre au besoin pres­sant d’avoir une popu­la­tion capable d’évoluer confor­ta­ble­ment dans une socié­té où les mathé­ma­tiques jouent un rôle très mul­ti­va­lent, un plan de grande ampleur s’impose. C’était l’ambition des assises des mathé­ma­tiques 2022. Comme le disait une dépu­tée lors d’une des tables rondes, vu son impor­tance et la varié­té des actions à mener, cette bataille doit deve­nir une grande cause natio­nale, au-delà de la com­mu­nau­té mathé­ma­tique. 

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