Cours d’algèbre Primalité, divisibilité, codes

Dossier : Arts, Lettres et SciencesMagazine N°528 Octobre 1997Par : Michel DEMAZURE, professeur à l’École polytechnique et directeur du Palais de la Découverte.

Dis­ci­plines plus que bimil­lé­naires, l’algèbre et l’arithmétique ont connu récem­ment des appli­ca­tions aus­si spec­ta­cu­laires qu’inattendues. Com­ment décom­po­ser un nombre en fac­teurs pre­miers, com­ment recon­naître si un nombre est pre­mier : ces ques­tions, revi­vi­fiées par l’existence des moyens modernes de cal­cul, se retrouvent aujourd’hui au coeur des pro­cé­dés de cryp­to­gra­phie les plus récents. La numé­ri­sa­tion du sto­ckage et de la trans­mis­sion de l’information uti­lise les codes cor­rec­teurs, appli­ca­tion sur­pre­nante des corps finis inven­tés par Galois.

À côté de cette appli­ca­tion moderne d’une théo­rie clas­sique, les ordi­na­teurs, dans d’autres domaines, sont en train de modi­fier la concep­tion que l’on a de l’algèbre. Le livre de Michel Dema­zure s’inscrit dans ce mou­ve­ment, et l’enseignement de l’algèbre va cer­tai­ne­ment évo­luer pour une part dans la direc­tion qu’il indique.

Issu d’un ensei­gne­ment à l’École poly­tech­nique, ce Cours d’algèbre est acces­sible à des étu­diants de licence ou à de bons élèves de classes pré­pa­ra­toires. Il ren­dra de grands ser­vices aux agré­ga­tifs. Il peut ins­pi­rer des cours d’algèbre d’un style nou­veau à l’Université ou dans les écoles d’ingénieurs.

La pre­mière par­tie traite d’abord de l’analyse des algo­rithmes, puis de l’arithmétique clas­sique et de la trans­for­ma­tion de Fou­rier rapide, avec comme objec­tif la construc­tion de tests per­for­mants de recon­nais­sance des nombres premiers.

La deuxième par­tie est consa­crée à la théo­rie élé­men­taire des anneaux com­mu­ta­tifs, notam­ment à la divisibilité.

La troi­sième par­tie, après une intro­duc­tion aux corps finis et à la théo­rie cyclo­to­mique, pré­sente un expo­sé détaillé de leurs appli­ca­tions aux codes correcteurs.

Ce livre contient 281 exer­cices avec solu­tions, dont un grand nombre com­porte des cal­culs sur ordinateur.

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