Analyse numérique et optimisation

Ce livre est issu d’un cours enseigné à l’École poly­tech­nique dont l’objectif, au-delà de la présen­ta­tion de l’analyse numérique et de l’optimisation, est d’introduire les étu­di­ants au monde de la mod­éli­sa­tion math­é­ma­tique et de la sim­u­la­tion numérique. La mod­éli­sa­tion et la sim­u­la­tion ont pris une impor­tance con­sid­érable ces dernières décen­nies dans tous les domaines de la sci­ence et des appli­ca­tions indus­trielles (ou sci­ences de l’ingénieur).

En effet, depuis leur appari­tion au lende­main de la Sec­onde Guerre mon­di­ale les ordi­na­teurs ont pro­fondé­ment trans­for­mé les math­é­ma­tiques en en faisant une sci­ence expéri­men­tale : on fait des “ expéri­ences numériques ” (des cal­culs sur ordi­na­teurs) comme d’autres font des exer­ci­ces physiques.

L’analyse numérique est juste­ment la dis­ci­pline qui conçoit et analyse les méth­odes ou algo­rithmes de cal­cul. La sim­u­la­tion numérique per­met aux math­é­mati­ciens de s’attaquer à des prob­lèmes beau­coup plus com­plex­es et con­crets qu’auparavant, issus de moti­va­tions immé­di­ates indus­trielles ou sci­en­tifiques, aux­quels on peut apporter des répons­es à la fois qual­i­ta­tives mais aus­si quan­ti­ta­tives : c’est la mod­éli­sa­tion mathématique.

Remar­quons qu’à côté des champs d’applications tra­di­tion­nels que sont la chimie, la mécanique et la physique se sont ouvertes de nou­velles per­spec­tives en biolo­gie, envi­ron­nement, finance, médecine et sci­ences sociales.

Par ailleurs, l’ingénieur ou le sci­en­tifique qui a réus­si à simuler numérique­ment son prob­lème ne s’arrête pas en si bon chemin : il veut ensuite pou­voir inter­venir sur cer­tains paramètres pour amélior­er ou opti­miser le fonc­tion­nement, le ren­de­ment, ou la réponse d’un sys­tème en max­imisant (ou min­imisant) des fonc­tions associées.

C’est pré­cisé­ment le but de l’optimisation qui four­nit des out­ils théoriques ou numériques pour ce faire. L’analyse numérique et l’optimisation sont donc deux out­ils essen­tiels et com­plé­men­taires de la mod­éli­sa­tion mathématique.

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