Récréations scientifiques de novembre 2022

1. Où va la perle ?

Une boucle cir­cu­laire (rayon R) de fil de fer tourne à la vitesse constante ω autour de son dia­mètre ver­ti­cal Oy. Une perle (masse m) y est enfi­lée, sans frot­te­ment. Déter­mi­ner ses posi­tions d’équilibre et leurs stabilités.

2. Carrés à rallonge

a/ On consi­dère la suite 49, 4489, 444889, …, où chaque terme est obte­nu en insé­rant 48 au milieu du pré­cé­dent. Mon­trer que tous les termes sont des car­rés, et déter­mi­ner la suite des racines de ces carrés.

b/ Si N s’écrit avec m chiffres 9, quelle est la somme des chiffres de son carré ?

3. Solution unique

Pour a < 1, la fonc­tion ax est décrois­sante, ce qui garan­tit que l’équation ax = x a une solu­tion unique. Existe-t-il une valeur de a > 1 telle que l’équation ax = x ait une solu­tion unique ?

> Solu­tions des récréa­tions scien­ti­fiques de novembre 2022

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