Covid-19 : une modélisation simple utilisant Excel, accessible aux non-mathématiciens et pleine d’enseignements

Les équa­tions dif­fé­ren­tielles éta­blies par Ker­mack et McKen­drick en 1927 per­mettent de modé­li­ser le déve­lop­pe­ment d’une épi­dé­mie. Mal­gré leur sim­pli­ci­té, elles n’ont pas de solu­tion pou­vant être expri­mée sous forme ana­ly­tique. Quant aux mul­tiples modèles déri­vés, de plus en plus com­plexes sur le plan mathé­ma­tique, leurs pré­vi­sions n’ont pas tou­jours été fiables. Or l’emploi d’Excel n’est pra­ti­que­ment jamais évo­qué dans les cours d’épidémiologie, alors qu’il per­met de rendre la modé­li­sa­tion d’une épi­dé­mie com­pré­hen­sible à des non-mathé­ma­ti­ciens, de leur de mon­trer sa per­ti­nence et de leur faire com­prendre quelles sont les futures évo­lu­tions possibles.

Pour le non-mathé­ma­ti­cien, tirer per­son­nel­le­ment des ensei­gne­ments pra­tiques du modèle épi­dé­mio­lo­gique de Ker­mack et McKen­drick, même sous sa forme la plus simple dite SIR, paraît très ardu : les spé­cia­listes lui parlent d’exponentielles, de déri­vées, d’équations dif­fé­ren­tielles non linéaires impos­sibles à résoudre sans recou­rir à des sol­veurs infor­ma­tiques. Le résul­tat est une prise de dis­tance fré­quente vis-à-vis de cette dis­ci­pline de la part de beau­coup de méde­cins, qui va pour cer­tains jusqu’à l’affirmation qu’elle n’est pas plus cré­dible que l’astrologie.

Le modèle SIR 

Rap­pe­lons que dans ce modèle la popu­la­tion com­po­sée de N indi­vi­dus est divi­sée en 3 « compartiments » :

• S popu­la­tion saine non contaminée ;
• I popu­la­tion infec­tée répu­tée contagieuse ;
• R popu­la­tion « remise » c’est-à-dire gué­rie et répu­tée immu­ni­sée, ou décédée.

Expri­mées en lan­gage de non-mathé­ma­ti­ciens uti­li­sa­teurs d’Excel, les équa­tions de Ker­mack et McKen­drick signi­fient que :

• La popu­la­tion S (au départ égale à N moins quelques indi­vi­dus infec­tés) dimi­nue quo­ti­dien­ne­ment de β.S.I indi­vi­dus (β est égal à R₀ /(N.D), R₀ étant le « taux de repro­duc­tion ini­tial » sou­vent évo­qué par les médias et D la durée moyenne pon­dé­rée en jours d’infection avant gué­ri­son ou décès).

Bien noter que la nota­tion tra­di­tion­nelle R₀ n’a rien à voir avec R à l’instant 0.

• La popu­la­tion R (au départ nulle) aug­mente quo­ti­dien­ne­ment de γ.I indi­vi­dus (γ étant l’inverse de D).
• La popu­la­tion I (au départ quelques indi­vi­dus) est la dif­fé­rence entre N et (S + R).

Nota : paraî­trait plus logique une modé­li­sa­tion où, au lieu de γ.I indi­vi­dus entrant le jour J dans le com­par­ti­ment R, y bas­cu­le­raient ceux qui ont quit­té le jour (J‑D) le com­par­ti­ment S. Néan­moins les équa­tions clas­siques de Ker­mack et McKen­drick pré­sentent l’avantage d’avoir fait depuis 1927 l’objet de nom­breuses études qui ont four­ni un cer­tain nombre de conclu­sions vali­dées par l’observation de cas concrets d’épidémie. Une com­pa­rai­son entre des modé­li­sa­tions Excel fon­dées sur les deux types d’équations n’a pas mon­tré de dif­fé­rence affec­tant de façon fon­da­men­tale les résul­tats expo­sés dans cet article, qui est donc basé sur l’utilisation des équa­tions traditionnelles. 

Où Excel excelle

À par­tir de D, N et R₀ il est facile de bâtir un tableau Excel don­nant l’évolution de S, I et R et de leurs varia­tions quo­ti­diennes pen­dant quelques cen­taines de jours. L’avantage sur des méthodes mathé­ma­tiques clas­siques est l’extrême sou­plesse avec laquelle ce logi­ciel per­met d’introduire des don­nées d’entrée sui­vant n’importe quelle évo­lu­tion au cours du temps, en par­ti­cu­lier pour R₀ (et par voie de consé­quence β).

Le dia­gramme sui­vant montre l’évolution de I et de R au début d’une épi­dé­mie qui, dans le cadre de vie habi­tuel d’un pays de 67 mil­lions d’habitants, pré­sente un R₀ de 3. Le 17 mars le nombre de nou­veaux infec­tés quo­ti­diens atteint 100 000, ce qui risque d’entraîner 20 jours plus tard un nombre de décès quo­ti­dien de 500 à 1 000, compte tenu d’une léta­li­té réelle de 0,5 à 1 % (voir plus loin). Les pou­voirs publics décrètent alors un confi­ne­ment géné­ral qui fait bais­ser immé­dia­te­ment R₀ à 0,7 pen­dant 55 jours. Après le décon­fi­ne­ment du 11 mai, en par­ti­cu­lier sous l’influence de mou­ve­ments liber­taires niant la per­sis­tance de l’épidémie, R₀ remonte pro­gres­si­ve­ment de façon linéaire jusqu’à 1,3 en 4 mois, puis se sta­bi­lise à ce niveau à par­tir de sep­tembre 2020.

Le modèle SIR uti­li­sant Excel montre que le nombre d’infectés simul­ta­nés qui avait aug­men­té jusqu’au début du confi­ne­ment (mars 2020) décroît jusqu’à la fin juillet 2020. Ensuite, si le virus n’évolue pas, si R₀ reste stable à 1,3 et si aucun nou­veau trai­te­ment effi­cace n’est mis en œuvre, le nombre d‘infectés simul­ta­nés croît jusqu’à un maxi­mum en juin 2021 (courbe bleu fon­cé) puis dimi­nue jusqu’à ce que l’immunité col­lec­tive cor­res­pon­dant à R₀ = 1,3 soit atteinte (envi­ron 40 % de la popu­la­tion immu­ni­sée suite à gué­ri­son ou à toute autre cause, voir plus bas), ce qui ne sur­vient qu’en 2022.

À la mi-août 2020, le cumul de per­sonnes qui ont été conta­mi­nées (courbe bleu clair) est d’environ 4 mil­lions. Une léta­li­té réelle de 0,5 à 1 % conduit à 20 à 40 000 décès depuis le début de la pan­dé­mie, four­chette com­pa­tible avec les chiffres obser­vés en France.

Si les condi­tions rap­pe­lées plus haut res­tent inchan­gées, l’évolution ulté­rieure pré­vue par Excel cor­res­pond ensuite à une hausse sen­sible entre le creux de juillet 2020 et le prin­temps 2021 du nombre quo­ti­dien de nou­veaux infec­tés. Tou­te­fois cette hausse sera beau­coup moins rapide que celle de mars 2020 où le nombre de nou­veaux conta­mi­nés et de décès dou­blait chaque semaine. On assis­te­ra ensuite à une lente décrois­sance jusqu’à extinc­tion de l’épidémie début 2022 (à condi­tion que R₀ reste à 1,3 !). Mais plu­sieurs élé­ments sont sus­cep­tibles de modi­fier cette pré­vi­sion : muta­tions impré­vi­sibles du virus, dis­po­ni­bi­li­té de trai­te­ments des malades rédui­sant la durée d’infection, arri­vée de vac­cins, sans oublier les réac­tions com­por­te­men­tales de la popu­la­tion, que ce soit par prise de conscience et ini­tia­tives indi­vi­duelles (sur­tout chez les plus vul­né­rables) ou par res­pect de consignes indi­ca­tives ou coer­ci­tives des pou­voirs publics.

Létalités réelle et apparente 

Le taux de léta­li­té réel, ou infec­tion faci­li­ty rate (IFR), est le rap­port entre le nombre de décès impu­tés à l’épidémie et le nombre total de per­sonnes (y com­pris les asymp­to­ma­tiques) qui ont été infec­tées par le virus cor­res­pon­dant. Pour des rai­sons pra­tiques, ce der­nier nombre ne peut être qu’estimé, car il n’est pas mesu­rable : pour un pays comme la France, à rai­son de 100 000 tests par jour, il fau­drait près de deux ans pour tes­ter une seule fois toute la population.

Cette léta­li­té dépend de carac­té­ris­tiques du virus qui, dans le cas de la Covid-19, paraissent jusqu’à main­te­nant assez stables et assez sem­blables dans l’ensemble des pays tou­chés. Des dif­fé­rences entre pays et régions peuvent appa­raître pour des rai­sons de fond (état de san­té géné­ral de la popu­la­tion, qua­li­té du sys­tème de soins) et des méthodes diver­gentes de sai­sie des motifs de décès, en par­ti­cu­lier dans les cas fré­quents de comor­bi­di­té. Au moment où cet article est écrit, l’estimation du taux de léta­li­té réel de cette infec­tion, au moins en France et dans des pays de niveau de déve­lop­pe­ment com­pa­rable, semble être une four­chette allant de 0,5 à 1 %.

Le taux de léta­li­té appa­rent, ou case faci­li­ty rate (CFR), est le rap­port entre le nombre de décès impu­tés à l’épidémie et le nombre de per­sonnes qui ont été tes­tées posi­tives. La léta­li­té appa­rente est donc tota­le­ment dépen­dante de la poli­tique de tests qui varie énor­mé­ment de pays à pays (par exemple aux États-Unis, on a long­temps tes­té beau­coup plus qu’en France). Lorsqu’ils sont fon­dés sur des « léta­li­tés » tout court qui sont en fait des léta­li­tés appa­rentes, les nom­breux articles ou ouvrages qui pré­tendent com­pa­rer à par­tir de ce chiffre l’efficacité de dif­fé­rents sys­tèmes de soins face à ce virus sont donc ineptes.

« La létalité n’a pas d’influence directe sur la propagation de l’épidémie. »

Dans un modèle épi­dé­mio­lo­gique, la léta­li­té n’a pas d’influence directe sur la pro­pa­ga­tion de l’épidémie, puisque ce qui déter­mine cette der­nière est la baisse pro­gres­sive du nombre d’individus pou­vant être conta­mi­nés, que les autres aient été immu­ni­sés par infec­tion-gué­ri­son ou vac­ci­na­tion ou qu’ils n’aient pas sur­vé­cu à l’infection.

Taux de contamination de la population apportant une immunité collective (herd immunity)

L’emploi d’Excel per­met de déter­mi­ner faci­le­ment le taux d’immunité col­lec­tive, c’est-à-dire le pour­cen­tage de la popu­la­tion qui doit avoir été conta­mi­né (ou vac­ci­né) pour que l’épidémie s’arrête d’elle-même. Il suf­fit de pro­lon­ger le tableau conte­nant S, I et R jusqu’à ce que I devienne nul. La courbe R se ter­mine par une droite hori­zon­tale don­nant le taux d’infectés mini­mal dans la popu­la­tion pour que l’épidémie s’arrête.

On remarque que ce taux est très dépen­dant de R₀. Une série d’essais Excel avec des R₀ allant de 1 à 4 donne la courbe suivante.

Les cours d’épidémiologie donnent pour cette courbe l’équation suivante :

Taux_{col­lec­tive} = 1 – exp ( – R0 x Taux_{col­lec­tive} )

qui confirme les résul­tats obte­nus grâce à Excel, méthode qui ne demande aucune connais­sance mathé­ma­tique particulière.

Est donc inexacte l’affirmation que l’on entend ou lit sou­vent, selon laquelle pour atteindre une immu­ni­té col­lec­tive il faut que le taux total de per­sonnes ayant été infec­tées dépasse 60 ou 70 %. La courbe montre que, si une popu­la­tion réus­sit à main­te­nir de façon durable un R₀ infé­rieur à 1,5, l’immunité col­lec­tive est obte­nue pour des valeurs infé­rieures à 60 % (par exemple envi­ron 40 % pour un R₀ de 1,3). La com­bi­nai­son d’un R₀ et d’un taux d’infection de la popu­la­tion per­met­tant de se posi­tion­ner au-des­sus de la courbe per­met aus­si d’attendre l’arrivée d’un vac­cin, d’un remède ou d’une éven­tuelle muta­tion favo­rable du virus. Il est pos­sible que cer­taines zones à forte den­si­té de popu­la­tion soient actuel­le­ment proches de cette immu­ni­té col­lec­tive (Stock­holm ?), mais s’y main­te­nir de façon durable impose de ne pas lais­ser aug­men­ter le R₀ qui aura per­mis d’en bénéficier.

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