Les nombres premiers
Les auteurs ont délibérément choisi de traiter le sujet de façon tout à fait différente de leurs deux prédécesseurs dans la même collection (et sous le même titre).
Ils ont eu raison, tant les connaissances se sont accrues depuis un demi-siècle ; d’autant plus que les liens avec d’autres domaines des mathématiques sont bien plus nombreux et profonds ; enfin que le sujet, longtemps considéré comme un modèle de science désintéressée, voire “ inutile ”, trouve maintenant des applications pratiques importantes, dont les plus connues – qui remontent à vingt ans, mais ne sont pas les seules – concernent la cryptologie.
Ils ont réussi à exposer une partie notable des questions et méthodes dites élémentaires, mais aussi à donner une idée non superficielle des méthodes analytiques. Ainsi, les pages consacrées à la fonction ζ(s) de Riemann sont-elles particulièrement intéressantes : lien avec le théorème centenaire (de J. Hadamard et C. de la Vallée-Poussin) sur le nombre des nombres premiers inférieurs à x ; importance et énorme difficulté de la conjecture de Riemann selon laquelle tous les zéros de ζ(s) autres que les entiers pairs négatifs auraient tous leur partie réelle égale à 1⁄2. Et cette conjoncture présente, par sa nature et par ses conséquences, une importance probablement bien plus grande que celle de Fermat (transformée il y a peu en théorème par A. Wiles).
Certes la densité est très grande et la lecture demandera à un nonspécialiste une attention soutenue ; mais l’effort en vaut la peine, car la vision est moderne – au meilleur sens du terme – et le propos comme les nombreuses démonstrations sont clairs. Bien sûr ne sont pas traités tous les aspects des propriétés souvent étranges des nombres premiers. Ainsi la part faite à la théorie des résidus quadratiques est-elle très faible et l’étude des nombres premiers de la forme x2 + n y2 n’est-elle pas abordée ; mais on ne peut évidemment pas le reprocher aux auteurs : ils avaient à faire un choix et l’ont fait de façon heureuse.
Qu’il me soit permis toutefois d’exprimer un regret : il me semble que des professeurs d’université devraient être plus exigeants quant à la langue.
“ La preuve… passe par la structure des idéaux ”. “ Il suit… ” au lieu de “ Il s’ensuit que… ” ou encore “ Il nous entraînerait trop loin de… ” pour “ Cela nous entraînerait trop loin de… ”. “ Une situation standard de ce type ” pour “ Une situation typique à cet égard ”. Autres anglicismes : motivation, basique, techniques avancées… “ La lectrice… ” est utilisée (sous l’influence américaine ?) alors que “ Le lecteur ” a en français correct une valeur neutre – et donc sans la moindre connotation antiféministe !
Ces quelques incorrections ne retirent rien à la clarté de l’ensemble, clarté que seuls pouvaient atteindre en pareille entreprise des auteurs maîtrisant aussi bien ces questions passionnantes, mais complexes, souvent délicates et parfois même déroutantes.
Je ne doute pas que la lecture de ce joli petit livre incitera beaucoup de non-spécialistes à aller au-delà de cette excellente et très solide initiation
