La loi des grands nombres en assurance : ni nécessaire ni suffisante

Dossier : Les assurancesMagazine N°560 Décembre 2000Par Alain TOSETTI (64)

L’assu­reur vend des pro­messes, et fait appel pour cela à une mul­ti­pli­ci­té de tech­niques. Le chef d’en­tre­prise (comme le contrô­leur des assu­rances) doit donc com­prendre à la fois :

  • le 2 + 2 = » 4,00 » des comptables,
  • le 2 + 2 = » com­bien vou­lez-vous que cela fasse » des actuaires,
  • le 2 + 2 = » 3,999999999 » des informaticiens,
  • et le II + II = IV des juristes.


Le résul­tat de l’as­su­reur est aléa­toire : il espère faire un béné­fice mais peut aus­si faire une perte.

Pour évi­ter, à défaut d’une perte, du moins une perte qui le » ruine « , il se repose sur une loi de la sta­tis­tique qui s’ap­pelle la loi des grands nombres.

Les engagements réciproques de l’assuré et de l’assureur constituent le contrat d’assurance

Pre­nons trois exemples simples aus­si variés que pos­sible : A, agri­cul­teur, court le risque de voir sa récolte détruite par la grêle ; C, chas­seur, court le risque de bles­ser un pro­me­neur ; D, père de famille, court le risque de décé­der avant que ses enfants ne soient en âge de gagner leur vie.

En cas de réa­li­sa­tion du risque, A ne pour­ra pas assu­mer finan­ciè­re­ment la perte d’une année de reve­nu, C le rem­bour­se­ment des frais de soins du pro­me­neur et l’é­pouse de D la charge de plu­sieurs années d’é­du­ca­tion, d’a­li­men­ta­tion, d’ha­bille­ment, de ses enfants. Dans cha­cun de ces trois exemples, ces hommes sont confron­tés à un risque et décident de s’assurer.

Expo­sé à un risque,

  • l’as­su­ré paie à l’as­su­reur une prime,
  • l’as­su­reur garan­tit que, si le risque se réa­lise, il paie­ra un sinistre.


Cet enga­ge­ment réci­proque (paie­ment de la prime conve­nue contre paie­ment, le cas échéant, de sinistres garan­tis) consti­tue le contrat d’as­su­rance. Les deux par­ties au contrat ignorent donc si l’as­su­reur aura un quel­conque paie­ment à effec­tuer au pro­fit de l’as­su­ré. C’est en ce sens que le contrat d’as­su­rance est un contrat aléatoire.

Le sché­ma pré­cé­dent est-il vrai ? Oui, il est vrai, aus­si vrai que la phrase » les oiseaux volent « , aus­si vrai mais pas plus : tout le monde admet que la phrase » les oiseaux volent » est vraie, tout en sachant que l’au­truche (qui est un oiseau) vole mal.

Le sché­ma géné­ral pré­cé­dent appelle donc de nom­breuses nuances et pré­cau­tions de voca­bu­laire pour être juri­di­que­ment exact, il y a par­fois lieu de dis­tin­guer, dans un contrat d’as­su­rance, l’assu­ré qui court le risque, le sous­crip­teur qui signe le contrat, le béné­fi­ciaire qui per­çoit, le cas échéant, la pres­ta­tion de l’as­su­reur : l’as­su­rance de D peut avoir été sous­crite par son employeur et com­por­ter son conjoint comme béné­fi­ciaire… Dans le même ordre d’i­dées, dans les assu­rances où l’é­vé­ne­ment qui déclenche la pres­ta­tion est la sur­vie de l’as­su­ré ou la nais­sance d’un enfant, il ne serait pas très com­mer­cial de par­ler de sinistre

Mais comme notre pro­pos n’est pas de faire du droit ni du com­merce, nous n’i­rons pas plus loin sur ce terrain.

La forêt vue par un assureur
Un risque mal diver­si­fiable par les assu­reurs fran­çais : la tem­pête. © ALAIN TOSETTI

C’est la loi des grands nombres qui permet la compensation des risques

Réduite à un seul contrat avec un seul assu­ré, l’o­pé­ra­tion pré­cé­dem­ment décrite serait un pari pour l’as­su­reur. En effet, si le risque ne se réa­lise pas, l’as­su­reur fait un petit béné­fice (la prime). Dans le cas contraire, si le risque s’est réa­li­sé, il peut faire une perte impor­tante. Il suf­fit de pen­ser à l’as­su­ré qui ayant calé à un pas­sage à niveau avait fait dérailler un train, soit quelques mil­lions de francs de dégâts à la charge de son assu­reur : pour pou­voir payer ces dégâts, ce der­nier avait évi­dem­ment reçu les primes d’un grand nombre d’autres assurés !

Pour que chaque opé­ra­tion d’as­su­rance ne soit pas un pari dont la perte entraîne sa faillite, l’as­su­reur doit avoir réuni un grand nombre d’as­su­rés : ex ante, l’as­su­reur envi­sage de payer, avec les primes reçues de tous, les sinistres qui frap­pe­ront les malchanceux.

La mutua­li­sa­tion des risques n’est pos­sible que s’il n’y a pas un trop grand écart entre le nombre de mal­chan­ceux réels et ceux qu’il avait pré­vus. C’est la loi des grands nombres qui per­met à l’as­su­reur de s’en­ga­ger à ver­ser la somme aléa­toire S des sinistres en ayant reçu la somme P (où P = n . π si cha­cun des n assu­rés paye la même prime π).

L’as­su­reur ne s’en­gage pas seule­ment à payer les sinistres, mais aus­si à les gérer : la prime payée par l’as­su­ré com­prend des char­ge­ments de ges­tion (et aus­si des char­ge­ments de sécu­ri­té per­met­tant à l’as­su­reur d’es­pé­rer un bénéfice).

La loi des grands nombres dit en effet que, sous cer­taines condi­tions, le mon­tant aléa­toire S est » proche » du nombre cer­tain P = n . π (si n est » assez » grand), et que ce mon­tant peut être d’au­tant mieux pré­vu que le nombre d’as­su­rés n est plus grand.

Pre­nons un exemple : un contrat d’as­su­rance qui garan­tit le ver­se­ment d’un capi­tal de 100 000 F en cas de décès, sous­crit par 10 000 assu­rés qui ont cha­cun une pro­ba­bi­li­té 1 % de décé­der dans l’année.

Le cal­cul des pro­ba­bi­li­tés nous dit que l’es­pé­rance mathé­ma­tique du nombre aléa­toire D de décès qui auront lieu dans l’an­née qui vient est de 1 %. 10 000 = 100, ce qui peut paraître évident. Il est évident aus­si que le nombre de décès d qui aura réel­le­ment lieu ne sera pas égal à 100 sauf miracle : il y aura un écart entre d et D. L’é­cart » type » encore appe­lé dévia­tion » stan­dard » entre d et D est, nous dit la théo­rie, d’en­vi­ron 10 (très exac­te­ment 9,95), et il y a une qua­si-cer­ti­tude (99,9 % de chances) que le nombre de décès réel sera égal à 100 à 3,3 écarts types près soit à 33 % près.

Si l’as­su­reur a fait sous­crire 1 000 000 d’as­su­rés, les mêmes for­mules conduisent à dire qu’il y a une qua­si-cer­ti­tude que le nombre de décès sera com­pris entre 9 672 et 10 328 morts, donc que D sera égal à 10 000 à 3,3 % près.

Si l’as­su­reur a encais­sé 1 000 000 de primes de 1 000 francs, donc 1 000 MF, il peut avoir une qua­si-cer­ti­tude de payer 1 000 MF à 33 MF près, c’est-à-dire à peu de choses près.

La loi des grands nombres ne suffit pas à caractériser l’assurance : il faut ajouter qu’elle fonctionne en capitalisation

L’as­su­rance ayant un rôle (répondre au besoin de sécu­ri­té des ménages), il est inté­res­sant de quan­ti­fier son impor­tance dans l’é­co­no­mie française.

L’assurance représente-t-elle 1 %, un dixième ou un tiers du PIB français ?

La réponse n’est pas aus­si immé­diate qu’il y paraît : on peut en effet sou­te­nir que cha­cun des trois nombres pré­cé­dents consti­tue la meilleure réponse.

Com­men­çons par le second nombre, qui est la réponse la plus fré­quem­ment citée. L’as­su­rance ne repré­sente-t-elle pas 10 % du PIB fran­çais ? En 1996, le chiffre d’af­faires (primes ou coti­sa­tions) des socié­tés d’as­su­rance, 770 GF, ne repré­sente-t-il pas envi­ron 10 % des 7 861 GF de PIB ?

Mais on peut objec­ter que le chiffre d’af­faires des socié­tés d’as­su­rance ne » consti­tue » pas envi­ron 10 % du PIB, que c’est la valeur ajou­tée par l’as­su­rance qui est une part du PIB, et qu’elle en consti­tue envi­ron 1 % (0,8 %) : à l’ap­pui de ce point de vue, on peut obser­ver que l’as­su­rance emploie envi­ron 200 000 per­sonnes en France, soit 1 Fran­çais sur 100 et non 1 sur 10.

Deuxième sorte d’ob­jec­tion à la réponse 10 % : la Sécu­ri­té sociale (san­té, acci­dents du tra­vail, retraite) ne répond-elle pas comme l’as­su­rance au besoin de sécu­ri­té des ménages ? Les rôles de l’une et de l’autre sont-ils si dif­fé­rents ? Ain­si, lors de la créa­tion de la Sécu­ri­té sociale en 1947, les acci­dents du tra­vail qui lui ont été trans­fé­rés repré­sen­taient le tiers du chiffre d’af­faires des socié­tés d’as­su­rance. De même, l’as­su­rance vie occupe une place plus impor­tante dans les pays anglo-saxons, car les régimes de retraite y sont moins com­plets. Et si l’on tient compte des pres­ta­tions, on obtient un chiffre d’af­faires total, assu­rance et Sécu­ri­té sociale réunies, qui équi­vaut à (envi­ron) un tiers du PIB.

Mais si assu­rance et Sécu­ri­té sociale ont un rôle ana­logue, elles n’ont pas le même mode de fonctionnement.

L’as­su­rance fonc­tionne en capi­ta­li­sa­tion. La Sécu­ri­té sociale fonc­tionne en répar­ti­tion.

Dans un fonc­tion­ne­ment en répar­ti­tion, les primes reçues dans l’an­née, voire le mois, servent à payer les sinistres devant être payés dans l’an­née, voire le mois, même si ces sinistres se rap­portent à des périodes de garan­ties anté­rieures. Pour payer les sinistres l’an­née d’a­près, l’or­ga­nisme aura besoin de nou­velles primes.

Dans un fonc­tion­ne­ment en capi­ta­li­sa­tion, les primes reçues au cours d’un exer­cice don­né ser­vi­ront à payer les sinistres sur­ve­nus au cours du même exer­cice. Le paie­ment des sinistres peut dif­fé­rer de quelques années de l’en­cais­se­ment des primes.

Sans entrer dans la com­pa­rai­son des avan­tages et incon­vé­nients res­pec­tifs des deux modes d’o­pé­rer, réécri­vons donc le sché­ma géné­ral de l’as­su­rance en tenant compte de son fonc­tion­ne­ment en capitalisation :

Il existe en fait tra­di­tion­nel­le­ment deux modé­li­sa­tions de l’as­su­rance en fonc­tion de la com­plexi­té de la prise en compte du temps. Ces deux modé­li­sa­tions dif­fé­rentes défi­nissent deux actua­riats dif­fé­rents : un actua­riat à court terme uti­li­sé en assu­rance non-vie et un actua­riat à long terme, uti­li­sé en assu­rance vie.

Cette tra­di­tion pro­vient du fait que l’é­cart tem­po­rel entre les primes et les pres­ta­tions d’un contrat est glo­ba­le­ment plus consi­dé­rable en assu­rance vie qu’en assu­rance non-vie. Ceci peut se consta­ter sur les comptes de l’en­semble des socié­tés : il s’é­coule un an et demi en moyenne en non-vie entre l’en­cais­se­ment de la prime et le décais­se­ment de la pres­ta­tion, et cinq à huit ans en vie3.

Une autre dif­fé­rence existe entre les deux actua­riats : l’a­léa a une place beau­coup moins impor­tante en vie qu’en non-vie.

La rai­son en est qu’en vie le ver­se­ment de la pres­ta­tion dépend le plus sou­vent de la sur­vie de l’as­su­ré, évé­ne­ment qui a une forte pro­ba­bi­li­té : sur 10 000 assu­rés dont une cen­taine vont mou­rir dans l’an­née, quelques dizaines de décès de plus ou de moins sont un aléa négli­geable pour l’as­su­reur en cas de sur­vie qui s’at­tend à payer (envi­ron) 9 900 pres­ta­tions, et au contraire un aléa impor­tant pour l’as­su­reur en cas de décès qui s’at­tend à payer (envi­ron) 100 sinistres.

Le lec­teur atten­tif, s’il est juriste, s’é­ton­ne­ra peut-être de nous voir prendre l’as­su­rance décès comme exemple d’as­su­rance non-vie. Mais le lec­teur hâtif ou sans culture juri­dique nous par­don­ne­ra aisé­ment cette assi­mi­la­tion audacieuse.

Il n’est pas nécessaire à l’assureur de pouvoir appliquer la loi des grands nombres lui-même : il peut se réassurer

La loi des grands nombres, valable pour des risques iden­tiques et indé­pen­dants, s’é­tend aux risques qui à défaut d’être iden­tiques sont homo­gènes, et à défaut d’être indé­pen­dants ne sont pas trop dépendants.

Mais si notre assu­reur A assure 10 000 assu­rés pour 100 000 F et se voit pro­po­ser un assu­ré sup­plé­men­taire dont la garan­tie est de 100 MF, il n’est plus vrai qu’il puisse pré­voir sa charge sinistre à 33 % près : sa charge de sinistres est deve­nue de l’ordre soit de 10 MF, soit de 110 MF selon que cet assu­ré sup­plé­men­taire sur­vit ou décède.

Si les risques assu­rés ne sont pas suf­fi­sam­ment nom­breux, homo­gènes et indé­pen­dants pour que l’as­su­reur puisse pré­voir cor­rec­te­ment la somme des sinistres, en bref, si la loi des grands nombres ne peut pas s’ap­pli­quer, l’as­su­reur ne refuse pas de sous­crire le risque (et ne refuse pas pour autant la prime) ; sim­ple­ment, il lui faut se réassurer.

De même, si les assu­rés, loin de mener leur vie indé­pen­dam­ment l’un de l’autre, font fré­quem­ment des voyages en avion par groupes, la charge des sinistres devient de l’ordre soit de 10 MF soit de l’ordre de 15 MF (voire de l’ordre de 20) selon que l’on sup­pose que tous les voyages ont été cou­ron­nés de suc­cès ou qu’au contraire un avion de 500 assu­rés s’est écra­sé (voire que deux avions se sont écrasés).

Les tem­pêtes de décembre 1999 ont mon­tré que le mar­ché sup­por­tait bien le retour d’un risque qua­li­fié de » cen­te­naire » quelques années seule­ment après son pré­cé­dent passage.

La loi des grands nombres concerne très imparfaitement les actifs gérés

La diver­si­fi­ca­tion de ces pla­ce­ments est une notion essen­tielle de la régle­men­ta­tion rela­tive à la sol­va­bi­li­té : il lui est deman­dé de ne pas » mettre tous ses œufs dans le même panier « , de faire en sorte que la faillite d’une entre­prise ou l’é­crou­le­ment d’un immeuble ne lui coûte pas plus de 5 à 10 % de l’argent des assurés.

La tech­nique de capi­ta­li­sa­tion qu’il uti­lise fait de l’as­su­reur un » inves­tis­seur ins­ti­tu­tion­nel » : parce qu’il encaisse les primes avant (par­fois long­temps avant) d’a­voir à décais­ser les sinistres, l’as­su­reur dis­pose de sommes impor­tantes qu’il place.

Mais le risque de mar­ché rési­duel n’est pas pour autant jus­ti­ciable de la loi des grands nombres : il n’est pas vrai qu’en mul­ti­pliant le nombre d’as­su­rés et donc le mon­tant de ses pla­ce­ments par 100, l’é­cart type du résul­tat de l’as­su­reur ne soit mul­ti­plié que par 10 : les krachs immo­bi­liers ou bour­siers affectent l’en­semble des actifs.

La loi des grands nombres ne suffit pas à éviter la ruine

Reve­nons aux 10 000 assu­rés, risques iden­tiques et indé­pen­dants, tari­fés sur la base d’une pro­ba­bi­li­té 1 % de décé­der dans l’an­née, pour les­quels A a une qua­si-cer­ti­tude (99,9 % de chances) d’a­voir à payer 10 MF à 33 % près.

Si la pro­ba­bi­li­té de 1 % a été esti­mée avec pré­ci­sion, mais sur une popu­la­tion dif­fé­rente de celle assu­rée, et si les assu­rés ont en réa­li­té une pro­ba­bi­li­té de décé­der égale à 2 %, l’as­su­reur qui s’at­ten­dait à payer envi­ron 10 MF devra évi­dem­ment payer le double !

Épilogue

Deux pro­blèmes actua­riels se posent à l’as­su­reur ex ante (à la sous­crip­tion d’un ensemble de contrats) :

1) En sup­po­sant qu’il ait tari­fé par­fai­te­ment les risques qu’il assure, son résul­tat est aléa­toire ; que peut-on dire de cet aléa ?
2) Mais le tarif repose sur des esti­ma­tions : que peut-on dire de l’in­cer­ti­tude décou­lant de ces estimations ?

Un pro­blème sup­plé­men­taire se pose ex post (à l’is­sue de l’an­née d’as­su­rance) : que déduire du résul­tat comp­ta­bi­li­sé ? En par­ti­cu­lier convient-il de remettre en cause le tarif pra­ti­qué ? Ces pro­blèmes et ces cal­culs sur le risque de ruine de l’as­su­reur doivent en effet être pla­cés dans le cadre comp­table et régle­men­taire qui traite de ce que l’ac­tua­riat appelle la ruine et la régle­men­ta­tion l’insolvabilité.

Dans le pre­mier pro­blème l’as­su­reur pré­voit d’au­tant mieux son résul­tat (rela­tif) qu’il a plus d’as­su­rés, puisque s’il mul­ti­plie son nombre d’as­su­rés par 100 l’é­cart type de son résul­tat n’est mul­ti­plié que par 10, à cer­taines condi­tions tout au moins.

Dans le second pro­blème au contraire, s’il mul­ti­plie son nombre d’as­su­rés par 100 l’im­pact de son erreur de tarif est mul­ti­plié par 100.

Faire des cal­culs d’as­su­rances en se dis­pen­sant de connaître ce cadre revient à jouer au bridge sans savoir com­ment on compte les points.

_________________________________
1. Adap­té de l’ou­vrage Assu­rance : comp­ta­bi­li­té, régle­men­ta­tion, actua­riat, A. Toset­ti, T. Béhar, M. Fro­men­teau, S. Ménart. (Eco­no­mi­ca, 2000).
2. Celle-ci dit qu’en mul­ti­pliant le nombre d’as­su­rés par n, l’é­cart type du résul­tat est, dans cer­taines condi­tions, mul­ti­plié par ÷n . C’est parce qu’ils sont cen­sés com­prendre ce que veut dire la phrase pré­cé­dente que tant de poly­tech­ni­ciens sont recru­tés en assurance.
3. Les pro­vi­sions tech­niques repré­sentent 1,5 fois les primes en non-vie et 5 fois en vie.

Commentaire

Ajouter un commentaire

Bau­bion répondre
19 septembre 2017 à 12 h 29 min

Très bon sujet, très
Très bon sujet, très per­ti­nent. Rien à dire 

Répondre